이 문제는 울퉁불퉁한 미끄럼틀처럼 생긴 3차 함수의 그림에서, 가장 골짜기(밑으로 쑥 들어간 곳)의 높이가 마이너스 이(-2)가 될 때, 미지의 보물 상자 같은 문자 에이(a)의 값을 찾아내는 흥미진진한 수수께끼입니다.
초등학생 친구들이 구구단과 사탕 나누기 놀이를 하듯, 아주 자연스럽고 재미있는 비유를 통해 이 어려운 수학 문제를 하나씩 멋지게 풀어보겠습니다!
📌 오늘의 수능 문제
f(x) = x³ − 3x² + a
엑스를 넣으면 어떤 마법 같은 계산을 거쳐 결과가 튀어나오는 함수라는 이름의 상자입니다!
의
극솟값
주변에서 가장 웅덩이처럼 푹 파여서 동네에서 제일 낮은 곳을 뜻해요.
이 −2
영보다 두 칸 아래로 내려간 깊은 지하 세계 같은 음수 값이에요.
일 때, 상수 a
변하지 않고 꼭꼭 숨어 있는 신비로운 고정된 숫자 보물이에요.
의 값을 구하시오.
◄ 역추적 1단계: 정답 확인 — 최종 답 2 의 의미
여행 목적지 표지판 비유
멀고 먼 수학 여행을 떠나기 전에, 우리가 도착해야 할 최종 목적지인 정답 2가 무엇을 뜻하는지 먼저 커다란 표지판으로 확인하고 출발하는 단계입니다!
수학에서 함수
마법의 자판기에 동전을 넣으면 주스나 사탕이 톡 하고 튀어나오는 것처럼 규칙이 있는 상자예요.
f(x)에 숨겨진 미지수 a
아직 정답을 모르는 채로 비워둔 빈칸이나 수수께끼 같은 문자예요.
가 바로 2라는 것을 알았을 때, 이 숫자가 산등성이와 골짜기의 높이를 꼭 맞게 조절해 주는 마법의 열쇠 역할을 하게 됩니다.
예를 들어 a 자리에 2를 쏙 집어넣어 보면, 방정식
저울의 양쪽 무게가 똑같이 딱 맞아떨어지도록 등호를 사용하는 식이에요.
의 모든 조건이 거짓말처럼 완벽하게 맞아떨어지게 됩니다. 최종 결과로 a = 2를 얻는 순간, 우리는 문제 속 숨겨진 암호를 해독한 최고 명탐정이 되는 것이지요!
1단계 목표 확인표
목표 문자
상수 a의 위치 추적 및 대입 검증
정답: 2
핵심 포인트: 최종 답인 2는 함수의 골짜기 높이를 영하 2(-2)로 정확히 맞춰주는 보물 같은 상수입니다.
◄ 역추적 2단계: 미분 정의 — 공식이 어디서 왔는가
자동차 속도계 비유
자동차가 고속도로를 달릴 때 서울에서 부산까지 걸린 전체 평균 속도와, 지금 당장 눈금 바늘이 가리키는 순간 속도
찰나의 아주 짧은 순간 동안 자동차가 얼마나 빠르게 움직이는지 보여주는 속도예요.
는 완전히 다릅니다. 이 아주 찰나의 변화를 알아내는 마법의 도구가 바로 미분
거대한 산을 아주 잘게 쪼개서 어느 지점이 가장 가파른지 알아내는 수학 기술이에요.
입니다!
수학에서는 아주 아주 작은 간격인 극한 (lim)
어떤 값에 끝없이 다가가지만 절대 닿지는 않는 영원한 쫓아가기 놀이예요.
개념을 써서 h가 0으로 갈 때
시간 간격을 눈을 깜빡할 수도 없을 만큼 0에 가깝게 좁혀서 순간의 기울기를 구하는 방식이에요.
를 계산합니다. 이 규칙에 따라 함수 f(x) = x³ − 3x² + a를 미분하면, 지수에 있던 3이 앞으로 툭 떨어져서 3x²이 되고, 두 번째 항은 6x가 되며, 상수 a는 눈 녹듯 사라져서 f'(x) = 3x² − 6x라는 완벽한 공식이 태어납니다!
골짜기나 산꼭대기처럼 오르막이 끝나고 내리막이 시작되는 곳은 평평해서 기울기가 0이 되므로, 3x² − 6x = 0 이라는 방정식을 풀면 x 값이 0과 2라는 것을 시원하게 찾아낼 수 있습니다.
미분 계산 시각화 표
원래 함수 항
미분 규칙 적용 (지수 앞으로 내리기)
도함수 결과
x³
3 곱하기 x의 (3-1)제곱
3x²
-3x²
-3 곱하기 2 곱하기 x의 (2-1)제곱
-6x
핵심 포인트: 미분을 하면 기울기가 0이 되는 지점인 x=0과 x=2를 찾아낼 수 있습니다.
◄ 역추적 3단계: 계산 전개 — 분배법칙·인수분해 등 단계별 계산
레고 조립 및 사탕 나눠주기 비유
알록달록한 레고 블록을 설명서 순서대로 차근차근 조립하듯, 또는 커다란 사탕 봉지를 친구들에게 똑같이 나누어주듯 복잡한 식을 보기 좋게 묶어주는 인수분해
복잡하게 풀어져 있는 덧셈 식을 곱셈의 모양으로 예쁘게 포장하는 기술이에요.
단계를 거쳐봅니다.
우리가 얻은 도함수 식 3x² − 6x = 0 속에는 공통으로 들어있는 보물인 공통인수 3x
양쪽 항에 모두 곱해져 있어서 밖으로 묶어낼 수 있는 공통된 숫자와 문자예요.
가 숨어 있습니다! 이 3x를 괄호 밖으로 쏙 빼내면 3x(x − 2) = 0이라는 아주 깜찍하고 간단한 곱셈식으로 변신하게 됩니다.
두 수를 곱해서 0이 된다는 것은 앞의 친구 3x가 0이거나, 뒤의 친구 (x − 2)가 0이어야 한다는 뜻이므로, x = 0 또는 x = 2라는 해를 아주 쉽게 구할 수 있습니다. 이제 울퉁불퉁한 산길에서 골짜기가 찾아오는 위치가 바로 x = 2라는 것을 확실하게 알게 되었네요!
인수분해 전개 과정 표
원래 식
공통인수 3x 묶어내기
최종 인수분해
3x² − 6x = 0
3x × x − 3x × 2 = 0
3x(x − 2) = 0
핵심 포인트: 공통인수를 묶어내는 인수분해를 통해 x=0과 x=2라는 결괏값을 빠르고 정확하게 도출합니다.
◄ 역추적 4단계: 핵심 개념 — 기울기/극한/넓이 직관적 이해
산꼭대기 경사도 및 격자무늬 넓이 비유
가파른 뒷산을 등산할 때, 힘겹게 올라가서 숨을 고르는 가장 높은 곳이 산꼭대기이고, 계곡 밑으로 내려와 다리 아프게 쉬어가는 곳이 골짜기입니다. 이처럼 그래프의 모양을 눈으로 보듯 직관적으로 이해하는 단계입니다!
함수의 그래프를 그리다 보면 증가와 감소
오르막길처럼 위로 쭉 올라가는 것과 미끄럼틀처럼 아래로 스르륵 내려가는 변화예요.
가 번갈아 일어납니다. x가 0일 때는 언덕 위에서 아래로 내려가는 극대
주변 동네에서 가장 키가 크고 높은 산봉우리 같은 곳을 뜻해요.
가 되고, 우리가 찾고 싶어 하는 x = 2일 때는 깊은 웅덩이 밑바닥인 극소가 됩니다.
이 골짜기 위치인 x = 2를 원래 함수 식 f(x) = x³ − 3x² + a에 쏙 대입하면, f(2) = 2³ − 3×(2)² + a 라는 식이 완성되고, 이를 계산하면 8 − 12 + a = −4 + a 가 됩니다. 이 높이가 문제에서 마이너스 이(-2)라고 알려주었으므로, −4 + a = −2 라는 아주 쉬운 등식이 만들어집니다!
함숫값 대입 계산 표
대입하는 x값
함수식에 x=2 넣어서 계산하기
결과 높이
x = 2
8 − 12 + a
−4 + a
핵심 포인트: x=2일 때의 극솟값 계산 결과인 -4 + a가 문제의 조건인 -2와 같다는 방정식을 세웁니다.
◄ 역추적 5단계: 중학교 개념 — 그래프, 좌표평면, 변화율
중학교 좌표평면 그래프 비유
바둑판처럼 가로줄과 세로줄이 예쁘게 그려진 모눈종이 위에 점을 콩콩 찍어보던 중학교 시절의 추억을 떠올려보세요! 가로로 가는 x축
