안녕하세요! 오늘은 수능 수학에서 가장 자주 나오는 패턴 중 하나인 0/0 꼴 극한을 아주 쉽게 풀어드릴게요. 처음엔 겁나 보이지만 “약분 한 번”이면 끝나는 문제랍니다!
마치 분수 케이크를 나눌 때 위아래에 같은 조각이 있으면 그냥 지워버리는 것처럼요. 준비됐나요? 같이 해봐요!
📌 오늘의 수능 문제
극한
x가 특정 값에 한없이 가까워질 때 함숫값이 다가가는 목적지예요!
lim
x→0
x가 0에 아주 아주 가까워지지만 딱 0이 되지는 않아요
정답: 1
🔍 풀이 전 — 왜 바로 대입하면 안 될까요?
x = 0을 바로 넣으면 분자는 3(0)² + 0 = 0, 분모도 0이 됩니다. 즉 0/0 꼴이에요.
⚠️ 0/0은 “0”이 아닙니다! 0/0은 계산 불가능한 부정형이에요. 극한에서 0/0이 나오면 반드시 변형이 필요합니다.
해결 방법은 바로 ! 분자에서 x를 빼내면 분모의 x와 인수분해
긴 식을 곱셈 형태로 분해하는 마법! x²+2x = x(x+2)할 수 있어요.약분
분자·분모에 같은 것이 있으면 지워버리는 규칙
📝 단계별 풀이
STEP 1: 분자를 인수분해
분자 3x² + x를 살펴보면 두 항 모두 x가 있어요!
3x² + x = x(3x + 1)
(x를 공통으로 묶어냈어요)
3x² + x = x(3x + 1)
(x를 공통으로 묶어냈어요)
STEP 2: 약분 (핵심!)
(3x² + x) / x
= x(3x + 1) / x
= (3x + 1)
분자·분모의 x가 사라졌어요! (x ≠ 0이면 약분 가능)
= x(3x + 1) / x
= (3x + 1)
분자·분모의 x가 사라졌어요! (x ≠ 0이면 약분 가능)
STEP 3: x → 0 대입
limx→0 (3x + 1)
= 3(0) + 1
= 0 + 1 = 1
= 3(0) + 1
= 0 + 1 = 1
limx→0 (3x² + x) / x = 1
🎯 같은 패턴 연습 — 유사 문제
| 문제 | 풀이 과정 | 정답 |
|---|---|---|
| limx→0 (x² + 2x) / x | x(x+2)/x = x+2 | 2 |
| limx→0 (5x² − x) / x | x(5x−1)/x = 5x−1 | −1 |
| limx→0 (x³ + x) / x | x(x²+1)/x = x²+1 | 1 |
| limx→0 (2x² + 4x) / x | x(2x+4)/x = 2x+4 | 4 |
💡 핵심 공식 정리
0/0 꼴 극한의 해결법
1. 분자를 인수분해 한다
2. 분모와 공통 인수를 약분한다
3. 남은 식에 x 값을 대입한다
⭐ 공식: limx→0 (ax² + bx) / x = b (a, b는 상수)
1. 분자를 인수분해 한다
2. 분모와 공통 인수를 약분한다
3. 남은 식에 x 값을 대입한다
⭐ 공식: limx→0 (ax² + bx) / x = b (a, b는 상수)
❓ 자주 묻는 질문 (FAQ)
Q. x가 0일 때 약분해도 되나요?
극한에서 x→0이란 “x가 0에 가까워지지만 0이 되지는 않는다”는 뜻이에요. 그래서 x ≠ 0 조건이 성립하여 약분이 가능합니다!
Q. 왜 분모가 0이면 안 되나요?
분모가 0이면 나눗셈 자체가 정의되지 않아요. 마치 케이크를 0명이서 나누면 의미가 없는 것처럼요. 그래서 먼저 분자·분모를 변형해서 0을 없애야 합니다.
Q. 인수분해가 안 되면 어떻게 하나요?
분수 형태면 분자·분모 유리화, 삼각함수면 극한 공식 (sin x/x → 1)을 사용합니다. 이 패턴들은 차차 배울 거예요!
Q. 수능에 이런 문제가 많이 나오나요?
수능 수학 Ⅱ 극한 파트에서 0/0 꼴 인수분해 패턴은 거의 매년 출제됩니다. 오늘 배운 방법이면 대부분 해결 가능해요!
📊 오늘 배운 핵심 개념 요약
| 개념 | 설명 | 예시 |
|---|---|---|
| 극한 | x가 특정 값에 다가갈 때 함수가 향하는 값 | limx→a f(x) = L |
| 0/0 부정형 | 직접 대입하면 0/0이 나오는 경우 | 변형 필수! |
| 인수분해 | 공통인수를 묶어내는 기법 | ax² + bx = x(ax+b) |
| 약분 | 분자·분모 공통부분 제거 | x/x = 1 (x≠0) |