안녕하세요! 오늘은 f(x) = x³ − 3x의 미분을 배워요. 삼차함수
x³이 포함된 함수. 극대·극소가 있어서 파도 모양이에요!를 구하는 방법이에요.미분계수 f'(2)
x=2에서의 순간 변화율 = x=2에서 접선의 기울기
x³을 미분하면 3x²가 되는 , 그리고 3x를 미분하면 3이 되는 규칙을 차근차근 적용해봐요!거듭제곱 미분법칙
(xⁿ)’ = n·x^(n-1)
📌 오늘의 수능 문제
f(x) = x³ − 3x 일 때,
f'(2) 의 값을 구하시오.
f'(2) 의 값을 구하시오.
정답: 9
🔍 핵심 공식: 다항함수 미분
거듭제곱 미분법칙
(xⁿ)’ = n · x^(n-1)
(x³)’ = 3 · x² = 3x²
(x)’ = 1 · x⁰ = 1
(3x)’ = 3 · (x)’ = 3 · 1 = 3
(상수)’ = 0
(xⁿ)’ = n · x^(n-1)
(x³)’ = 3 · x² = 3x²
(x)’ = 1 · x⁰ = 1
(3x)’ = 3 · (x)’ = 3 · 1 = 3
(상수)’ = 0
📝 단계별 풀이
STEP 1: f(x) = x³ − 3x 미분하기
항별로 미분:
(x³)’ = 3x²
(−3x)’ = −3
따라서 f'(x) = 3x² − 3
(x³)’ = 3x²
(−3x)’ = −3
따라서 f'(x) = 3x² − 3
STEP 2: x = 2 대입
f'(x) = 3x² − 3
f'(2) = 3(2²) − 3
= 3(4) − 3
= 12 − 3
= 9
f'(2) = 3(2²) − 3
= 3(4) − 3
= 12 − 3
= 9
f'(2) = 9
📐 f'(x) = 3x² − 3의 의미
f'(x) = 0이 되는 x를 찾으면 극대·극소가 나와요!
3x² − 3 = 0
3(x² − 1) = 0
x² = 1
x = ±1
→ x = 1에서 극솟값 f(1) = 1 − 3 = −2
→ x = −1에서 극댓값 f(−1) = −1 + 3 = 2
3(x² − 1) = 0
x² = 1
x = ±1
→ x = 1에서 극솟값 f(1) = 1 − 3 = −2
→ x = −1에서 극댓값 f(−1) = −1 + 3 = 2
🎯 유사 문제 연습
| 함수 | 미분 | x=2에서 값 |
|---|---|---|
| f(x) = x³ + x | f'(x) = 3x²+1 | f'(2) = 13 |
| f(x) = x³ − 6x | f'(x) = 3x²−6 | f'(2) = 6 |
| f(x) = 2x³ − 3x | f'(x) = 6x²−3 | f'(2) = 21 |
| f(x) = x³ − 3x² | f'(x) = 3x²−6x | f'(2) = 0 |
💡 삼차함수의 그래프 특징
f'(x) > 0 구간: 증가 (올라가는 중)
f'(x) = 0 인 점: 극대·극소 (봉우리·골짜기)
f'(x) < 0 구간: 감소 (내려가는 중)
f(x) = x³ − 3x:
x < -1: f'(x) > 0 (증가)
−1 < x < 1: f'(x) < 0 (감소)
x > 1: f'(x) > 0 (증가)
f'(x) = 0 인 점: 극대·극소 (봉우리·골짜기)
f'(x) < 0 구간: 감소 (내려가는 중)
f(x) = x³ − 3x:
x < -1: f'(x) > 0 (증가)
−1 < x < 1: f'(x) < 0 (감소)
x > 1: f'(x) > 0 (증가)
❓ FAQ
Q. f'(x)와 f'(2)를 혼동하지 않으려면?
f'(x)는 “모든 x에 대한 기울기 공식”, f'(2)는 “x=2일 때의 구체적 기울기 수치”예요. 공식 → 대입 순서를 지키세요!
Q. x³을 미분하면 왜 3x²인가요?
거듭제곱 법칙: xⁿ → n·x^(n-1). x³이면 n=3이므로 3·x^(3-1) = 3x²이에요. 지수가 앞으로 나오고, 지수가 1 줄어요!
Q. f'(2) = 9의 의미는?
x = 2 지점에서 f(x)의 접선 기울기가 9라는 뜻이에요. 이 점에서 곡선은 x가 1 증가할 때 y가 9 증가하는 가파른 기울기로 올라가고 있어요.
Q. 이차미분(f”)은 무엇인가요?
f'(x)를 또 한번 미분한 것이에요. f'(x) = 3x²−3이면 f”(x) = 6x. f”(2) = 12. 볼록/오목을 판별할 때 사용해요!
📊 다항함수 미분 규칙 총정리
| 공식 | 이름 | 예시 |
|---|---|---|
| (xⁿ)’ = n·x^(n-1) | 거듭제곱 | x³ → 3x² |
| (c)’= 0 | 상수 | 7′ = 0 |
| (cf(x))’ = cf'(x) | 상수배 | (3x)’= 3 |
| (f+g)’ = f’+g’ | 합 | (x²+x)’= 2x+1 |
| (fg)’ = f’g+fg’ | 곱 | 주의! |