미분 | f(x)=x³+ax²+b, f'(1)=0, f(1)=2 – 수능수학 완전 분석

함수

f(x) = x³ + ax² + b

x를 넣으면 삼차함수 규칙에 따라 결과가 나오는 마법의 상자입니다.

가

x=1

마법의 상자에 넣은 입력값 위치입니다.

에서

극값 2

울퉁불퉁한 산의 꼭대기나 골짜기 중에서 높이가 2가 되는 순간입니다.

를 가질 때,

a+b의 값

미지의 알파벳 a와 b를 구해서 서로 더한 최종 최종 결과물입니다.

은?

여행 목적지 표지판 비유

긴 여행을 떠날 때 우리가 가야 할 최종 목적지가 어디인지 표지판으로 먼저 확인하는 것과 같습니다. 이 단계에서는 우리가 구하고자 하는 최종 결과인 정답 1이 수학적 여정의 끝에서 어떤 의미를 가지는지 미리 살펴봅니다.
수학에서 최종 답은 우연히 나오는 것이 아니라, 조건들을 차근차근 맞추었을 때 퍼즐 조각이 딱 맞아떨어지는 순간 완성되는 결정체입니다. 여기서는 a와 b라는 숨겨진 보물 상자를 열어 각각의 값을 구한 뒤 더하는 과정을 거치게 됩니다.
예를 들어 a가 -3/2이고 b가 5/2라면, 두 개를 더했을 때 (-3/2) + (5/2) = 2/2 = 1이라는 아주 깔끔한 숫자가 나오게 됩니다. 이처럼 복잡해 보이는 식도 결국엔 딱 떨어지는 아름다운 정답으로 수렴하도록 설계되어 있습니다.

자동차 속도계 비유

자동차가 서울에서 부산까지 갈 때 걸린 전체 시간을 나누어 구하는 평균 속도와 달리, 자동차 계기판에 지금 이 순간 찍히는 눈금이 바로

미분

함수의 순간적인 변화율을 구하는 마법의 도구입니다.

입니다.
수학에서는

lim (극한)

어떤 값에 한없이 다가가는 상태를 뜻합니다.

을 이용해 아주아주 작은 간격 h가 0으로 갈 때의 변화를 관찰합니다. 삼차함수 f(x) = x³ + ax² + b 를 미분하면

f'(x) = 3x² + 2ax

원래 함수의 기울기를 나타내는 도함수입니다. 각 항의 지수를 앞으로 내리고 지수를 1씩 빼서 계산합니다.

가 됩니다. 여기서 극값을 가진다는 것은 산의 꼭대기이므로 접선의 기울기가 0이 되어야 합니다. 즉, f'(1) = 3 + 2a = 0 이 성립합니다.

레고 조립 / 사탕 나눠주기 비유

레고 블록을 설명서 순서대로 차곡차곡 조립하거나, 여러 명의 친구들에게 사탕을 공평하게 나눠주는 것처럼 방정식을 풀 때는 순서가 중요합니다. 앞에서 구한 식 3 + 2a = 0 을 풀어서 알파벳 a의 정체를 밝혀내야 합니다.
등식의 성질을 이용해 양쪽에 똑같은 숫자를 더하거나 빼는 방식으로 정리합니다. 3 + 2a = 0 에서 양변에 3을 빼면 2a = -3 이 되고, 양변을 2로 나누면 a = -3/2가 됩니다. 이제 a를 알았으니 원래 함수식 f(1) = 1 + a + b = 2 조건에 대입하여 b를 구할 차례입니다.
1 + (-3/2) + b = 2 이므로 -1/2 + b = 2 가 되고, b = 2 + 1/2 = 5/2가 완성됩니다.

산꼭대기 경사도 / 격자무늬 종이 넓이 비유

가파른 산을 올라갈 때 정상에 딱 도달하는 순간, 발을 디디는 바닥이 평평해지면서 경사도가 0이 되는 것을 상상해 보세요. 이것이 바로 수학에서 말하는

극값

함수의 그래프가 증가하다가 감소하거나, 감소하다가 증가하는 꼭대기나 골짜기 지점입니다.

의 기하학적 의미입니다.
격자무늬 종이에 그림을 그리듯, x=1이라는 위치에서 함수의 높이가 정확히 2가 된다는 것은 좌표 (1, 2)를 그래프가 반드시 지난다는 뜻입니다. 이 두 가지 핵심 조건(기울기가 0이라는 점, 특정 점을 지난다는 점)을 조합하면 미지의 계수 a와 b를 구하는 강력한 무기가 완성됩니다.

중학교 좌표평면 그래프 비유

중학교 시간에 가로축(x축)과 세로축(y축)이 만나는

좌표평면

점의 위치를 가로와 세로 숫자로 정확하게 나타내는 모눈종이 판입니다.

에 점을 찍고 1차 함수 그래프를 그리던 기억이 나실 겁니다. 함수란 결국 입력값 x를 넣었을 때 나오는 결과값 y와의 쌍(x, y)을 모눈종이에 그림으로 표현한 것입니다.
여기에 등장하는

연립방정식

미지수가 여러 개일 때 식을 여러 개 묶어서 동시에 만족하는 값을 찾는 방법입니다.

개념도 중학교 때 배운 미지수 구하기와 정확히 일치합니다. a와 b라는 두 개의 미지수를 풀기 위해 두 개의 식이 주어졌고, 이를 차례대로 대입하여 해결하는 구조입니다.

주사위 세기 / 구구단 비유

초등학교 때 사탕 개수를 세거나 구구단을 외우며 기본 연산을 연습했던 기억을 떠올려보세요. 복잡해 보이는 고등학교 수능 수학도 결국에는 초등학교 때 배운 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기의 조합일 뿐입니다.
예를 들어 -3/2와 5/2를 더할 때, 분모가 같으므로 위쪽 분자끼리 -3 + 5를 계산하면 +2가 되고, 2/2는 정확히 1이 됩니다. 사탕 5개에서 3개를 빼고 나누어 주는 것과 완전히 똑같은 원리입니다. 구구단처럼 기본 연산 규칙만 탄탄하다면 어떤 고난도 문제도 가볍게 정복할 수 있습니다.

1. 함수 f(x) = x³ + ax² + b 의 도함수를 구합니다: f'(x) = 3x² + 2ax
2. x=1에서 극값 2를 가지므로 미분계수 조건에 의해 f'(1) = 3 + 2a = 0 이 성립합니다.
3. 방정식을 풀어 a를 계산합니다: 2a = -3 이므로 a = -3/2 입니다.
4. 함수값 조건 f(1) = 1 + a + b = 2 에 a를 대입합니다: 1 + (-3/2) + b = 2
5. 좌변을 정리하면 -1/2 + b = 2 가 되므로 b = 2 + 1/2 = 5/2 입니다.
6. 최종적으로 구하고자 하는 a + b 의 값을 계산합니다: (-3/2) + (5/2) = 2/2 = 1 입니다.