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이 문제는 자동차가 출발해서 목적지까지 가는 동안 전체 평균 속도가 얼마인지 구하는 방법을 초등학생의 눈높이에 맞춰 수학 기호로 바꾸어 풀어보는 문제예요. 어렵고 복잡한 공식처럼 보이지만, 알고 보면 아주 단순한 나누기 놀이랍니다!
자, 지금부터 역추적 작가와 함께 신비로운 수능 수학의 세계로 출발해 볼까요?
📌 오늘의 수능 문제
함수 f(x) = x²
마법의 상자예요! 를 넣으면 자기 자신을 두 번 곱한 값()을 뱉어내는 마법 상자랍니다.
숫자 x
변하는 수예요. 사과 개수처럼 마음대로 바뀔 수 있어요.
제곱
똑같은 수를 두 번 곱하는 것이에요! 예컨대 3의 제곱은 3×3=9예요.
x가 1에서 3까지 변할 때
여행을 떠날 때 출발지가 1이고 도착지가 3인 것과 같아요. 그사이 얼마나 변했는지 보는 구간이에요!
평균변화율
y의 증가량
결과값이 얼마나 늘어났는가 하는 뜻이에요!
x의 증가량
출발지와 도착지 사이의 거리, 즉 x가 얼마나 움직였는가 하는 뜻이에요!
◄ 역추적 1단계: 정답 확인
여행 목적지 표지판 비유
마치 자동차 타고 서울에서 대전까지 갈 때, 서울이라는과 대전이라는 을 정하고 전체 거리를 걸린 시간으로 나누어 을 구하는 것과 같아요.
수학 개념 설명: 이 문제에서 구하고자 하는 최종 답인 4는 x가 1일 때의 높이(f(1)=1)와 x가 3일 때의 높이(f(3)=9)의 차이를 x의 변화량(3-1=2)으로 나눈 값이에요.
구체적인 예시 수를 대입해보면, f(3) – f(1) / (3 – 1) 은 (9 – 1) / 2 가 되고, 이를 계산하면 8 ÷ 2 = 4가 완성됩니다!
마치 자동차 타고 서울에서 대전까지 갈 때, 서울이라는
출발점
여행이 시작되는 지점이에요. 수학에서는 x의 시작값인 1을 뜻해요.
도착점
여행이 끝나는 지점이에요. 수학에서는 x의 끝값인 3을 뜻해요.
평균 속력
전체 간 거리를 전체 걸린 시간으로 나눈 값이에요.
수학 개념 설명: 이 문제에서 구하고자 하는 최종 답인 4는 x가 1일 때의 높이(f(1)=1)와 x가 3일 때의 높이(f(3)=9)의 차이를 x의 변화량(3-1=2)으로 나눈 값이에요.
구체적인 예시 수를 대입해보면, f(3) – f(1) / (3 – 1) 은 (9 – 1) / 2 가 되고, 이를 계산하면 8 ÷ 2 = 4가 완성됩니다!
1단계 계산 표: 평균변화율 산출 과정
| 구간 정보 | 계산식: (f(3) – f(1)) ÷ (3 – 1) | 결과 |
| x: 1에서 3까지 | (9 – 1) ÷ (3 – 1) = 8 ÷ 2 | 4 |
핵심 포인트: 최종 답 4는 y의 증가량을 x의 증가량으로 나눈 평균변화율의 값입니다.
◄ 역추적 2단계: 미분 정의
자동차 속도계 비유
자동차를 타고 가면서 내비게이션에 나오는와 전체 평균 속도를 비교하는 것과 같아요. 평균변화율은 미분으로 나아가는 아주 소중한 첫 번째 디딤돌이에요!
수학 개념 설명:에 따르면, 평균변화율 공식은 (f(b) – f(a)) / (b – a) 형태를 띱니다. 여기서 a=1, b=3을 대입하여 틀을 잡습니다.
구체적인 예시 수를 대입해 보면, f(3)은 3×3=9이고 f(1)은 1×1=1이므로, (9-1)/(3-1) = 8/2 = 4라는 명쾌한 평균변화율을 얻을 수 있습니다.
자동차를 타고 가면서 내비게이션에 나오는
순간 속도
특정한 딱 한 순간에 달리고 있는 속도예요. 미분의 기초가 된답니다!
수학 개념 설명:
미분의 정의
변화하는 정도를 아주 잘게 쪼개서 살펴보는 수학의 멋진 도구예요!
구체적인 예시 수를 대입해 보면, f(3)은 3×3=9이고 f(1)은 1×1=1이므로, (9-1)/(3-1) = 8/2 = 4라는 명쾌한 평균변화율을 얻을 수 있습니다.
2단계 계산 표: 평균변화율의 일반 공식 적용
| 구간 양 끝점 | 함수값 계산 f(3) 과 f(1) | 결과 비율 |
| a = 1, b = 3 | f(3) = 9, f(1) = 1 이므로 (9-1)/(3-1) | 4 |
핵심 포인트: 미분의 출발점인 평균변화율은 두 점 사이의 기울기를 구하는 공식입니다.
◄ 역추적 3단계: 계산 전개
레고 조립 및 사탕 나눠주기 비유
레고 블록을 규칙에 맞게 차곡차곡 끼우거나 사탕을 친구들에게 똑같이 나누어주는 것과 같이, 식을 바르게 정리하는 단계예요!
수학 개념 설명:을 이용하면 (3² – 1²) / (3 – 1) 은 (3+1)(3-1) / (3-1) 로 변신해요.
구체적인 예시 수를 대입해 계산하면, 위아래의 (3-1)이 똑같이 약분되므로 남는 것은 3+1 = 4가 됩니다!
레고 블록을 규칙에 맞게 차곡차곡 끼우거나 사탕을 친구들에게 똑같이 나누어주는 것과 같이, 식을 바르게 정리하는 단계예요!
수학 개념 설명:
인수분해 공식
복잡한 식을 곱셈 형태로 간단히 쪼개는 마법의 기술이에요! (a² – b² = (a+b)(a-b))
구체적인 예시 수를 대입해 계산하면, 위아래의 (3-1)이 똑같이 약분되므로 남는 것은 3+1 = 4가 됩니다!
3단계 계산 표: 인수분해를 통한 약분 계산
| 원래 식 | 인수분해 및 약분 과정 | 최종값 |
| (3² – 1²) ÷ (3 – 1) | (3+1)(3-1) ÷ (3-1) = (3+1) | 4 |
핵심 포인트: 인수분해 공식(a² – b² = (a+b)(a-b))을 쓰면 복잡한 제곱 계산 없이도 쉽게 풀 수 있습니다.
◄ 역추적 4단계: 핵심 개념
산꼭대기 경사도 및 격자무늬 종이 넓이 비유
가파른 미끄럼틀을 탈 때 옆으로 얼마나 가고 아래로 얼마나 내려가는지 따져보는 것과 같아요. 수학에서는 이것을라고 불러요!
수학 개념 설명: 그래프 위의 두 점 (1, 1)과 (3, 9)를 곧게 연결한의 기울기를 구하는 것과 평균변화율은 완전히 똑같은 이야기랍니다.
구체적인 예시 수를 대입하여 x의 증가량 2에 대한 y의 증가량 8을 나누면, 8 ÷ 2 = 4라는 기울기 값이 툭 튀어나와요.
가파른 미끄럼틀을 탈 때 옆으로 얼마나 가고 아래로 얼마나 내려가는지 따져보는 것과 같아요. 수학에서는 이것을
직선의 기울기
오르막길이 얼마나 가파른지 알려주는 마법의 숫자예요!
수학 개념 설명: 그래프 위의 두 점 (1, 1)과 (3, 9)를 곧게 연결한
할선
곡선 위의 두 점을 찌르고 지나가는 곧은 직선을 말해요!
구체적인 예시 수를 대입하여 x의 증가량 2에 대한 y의 증가량 8을 나누면, 8 ÷ 2 = 4라는 기울기 값이 툭 튀어나와요.
4단계 계산 표: 두 점 사이의 기울기 확인
| 두 점 좌표 | 기울기 공식: (y₂ – y₁) ÷ (x₂ – x₁) | 기울기 |
| (1, 1) 과 (3, 9) | (9 – 1) ÷ (3 – 1) = 8 ÷ 2 | 4 |
핵심 포인트: 평균변화율은 기하학적으로 곡선 위의 두 점을 잇는 직선의 기울기와 같습니다.
◄ 역추적 5단계: 중학교 개념
중학교 좌표평면 그래프 비유
모눈종이 위에 가로줄(x축)과 세로줄(y축)을 그리고 점을 콩콩 찍어 그림을 그리던 중학교 수학 시간을 떠올려 보세요!
수학 개념 설명: 위에서 x가 1칸 커질 때 y가 얼마나 위아래로 움직이는지 관찰하는 개념을 그대로 가져온 것이에요.
구체적인 예시 수를 대
모눈종이 위에 가로줄(x축)과 세로줄(y축)을 그리고 점을 콩콩 찍어 그림을 그리던 중학교 수학 시간을 떠올려 보세요!
수학 개념 설명:
함수의 그래프
숫자들의 관계를 눈으로 보기 쉽게 그림으로 그린 것이에요!
변화율
상황이 변할 때 양이 얼마나 빠르게 늘거나 줄어드는지 나타내는 비율이에요!
구체적인 예시 수를 대
🎯 최종 정답: 4
✏️ 수능수학 개념 확인! 방금 배운 내용으로 테스트
5문제 · 문제를 클릭하면 바로 정답 확인!
Q1. 함수 f(x) = x² 에서 x가 1에서 3까지 변할 때의 평균변화율을 구하시오.
Q2. 평균변화율을 구하기 위한 식 (f(3) – f(1)) / (3 – 1)에서 분자 f(3) – f(1)의 값은 얼마인가?
Q3. 평균변화율을 구하기 위한 식 (f(3) – f(1)) / (3 – 1)에서 분모 (3 – 1)의 값은 얼마인가?
Q4. 함수 f(x) = x² 에 대하여 f(3)의 값은 얼마인가?
Q5. 함수 f(x) = x² 에 대하여 f(1)의 값은 얼마인가?
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