f(x)와 f'(x) 차이란? — 함수와 미분 기초

📅 2026-09-22 ✍️ persimmon

f(x)와 f'(x)는 뭐가 다를까?

함수의 기초부터 미분의 의미까지

※ 영어 “prime”(프라임) = “1차 미분”을 뜻해요. f”(x)는 “에프 더블 프라임 엑스” (2차 미분)이에요.

자판기를 생각해보세요.
500원짜리 동전을 넣으면 → 콜라가 나옵니다.
얼마를 넣느냐에 따라 나오는 게 달라집니다.

f(x) = 입력값 x를 넣으면 나오는 출력값
f(3) = 3² = 9 f(5) = 5² = 25

x 자리에 숫자를 넣으면 됩니다! 각 칸의 숫자 옆 ? 를 눌러서 왜 그 숫자인지 확인해보세요!

x (입력)	x³	−3x²	+2	f(x) (출력)
0	0 ? 0³ = 0×0×0 = 0 0을 몇 번 곱해도 0이에요!	0 ? −3×0² = −3×0×0 = −3×0 = 0 0과 곱하면 뭐든 0이에요!	+2 ? 이 항은 x와 상관없이 항상 +2예요. (상수: 변하지 않는 수)	2 ? 0 + 0 + 2 = 2 각 항을 모두 더한 결과예요!
1	1 ? 1³ = 1×1×1 = 1 1을 몇 번 곱해도 1이에요!	−3 ? −3×1² 계산하기: ① 1² = 1×1 = 1 ② −3×1 = −3 → 결과: −3 (마이너스 3: 빚 3원 같은 것)	+2 ? 이 항은 항상 +2예요.	0 ? 1 + (−3) + 2 = 0 ① 1 + 2 = 3 ② 3 + (−3) = 0
2	8 ? 2³ = 2×2×2 = 8 ① 2×2 = 4 ② 4×2 = 8	−12 ? −3×2² 계산하기: ① 2² = 2×2 = 4 ② −3×4 = −12 → 결과: −12 (마이너스 12: 음수로 꽤 커요)	+2 ? 이 항은 항상 +2예요.	−2 ? 8 + (−12) + 2 = −2 ① 8 − 12 = −4 ② −4 + 2 = −2

f(x)가 위치를 나타낸다면,
f'(x)는 그 위치에서의 속도(기울기)를 나타냅니다.

🚗 자동차 네비게이션에서:
• f(x) = 지도 (x분 만에 지금 어디 있는지)
• f'(x) = 속도계 (지금 얼마나 빠르게 이동 중인지)

수능 문제의 경우:

f(x) = x³ − 3x² + 2 → 미분하면 → f'(x) = 3x² − 6x

f(x)에 x=1 넣으면 위치 f(1) = 0
f'(x)에 x=1 넣으면 기울기 f'(1) = ?

f'(x) = 3x² − 6x 에 x = 1 대입:

f'(1) = 3 × (1)² − 6 × (1)
↑ x 자리에 전부 1로 교체
= 3 × 1²

1² = 1×1 = 1
1을 두 번 곱해도 1이에요!

− 6 × 1
= 3 × 1

1² = 1이라서 3×1이에요

− 6

6×1 = 6이에요

= 3

3×1 = 3

− 6

6×1 = 6

= −3 왜 음수?

3 − 6 = −3이에요.
5원 있는데 6원 내면 1원 빚(= −1)처럼
3 − 6 = −3이 됩니다.

→ x=1인 지점에서 기울기가 −3.
음수(−)이니까 내리막 경사입니다!

미분 연산 규칙 (xⁿ → n·x^(n-1)):

∴ f'(x) = 3x² − 6x + 0 = 3x² − 6x

순간 기울기가 미분이 되는 과정을 상세히

방정식에서 h를 없애는 이유, 약산의 의미