안녕하세요! 오늘은 x가 무한히 커질 때의 을 배워요. 분수 형태의 극한에서는 무한대 극한
x가 한없이 커질 때 함수가 향하는 값을 구해요이 전부를 결정한다는 놀라운 사실을 알게 될 거예요!최고차항
다항식에서 x의 지수가 가장 큰 항. 극한에서 방향을 결정해요!
마치 사막에서 멀리 볼수록 작은 돌멩이들은 보이지 않고 큰 모래 언덕만 보이는 것처럼요. x가 커질수록 작은 항들은 의미가 없어집니다!
📌 오늘의 수능 문제
무한대 극한
x가 한없이 커질 때 함수가 향하는 값을 구해요
limx→∞ (2x² + 3x) / (x² − 1) = ?
정답: 2
🔍 무한대 극한의 핵심 전략
분자·분모 모두 최고차항으로 나누기!
분자·분모가 모두 x² 최고차항 → x²으로 나눈다
왜? x→∞이면 1/x → 0, 1/x² → 0 이 되어 사라지거든요!
분자·분모가 모두 x² 최고차항 → x²으로 나눈다
왜? x→∞이면 1/x → 0, 1/x² → 0 이 되어 사라지거든요!
📝 단계별 풀이
STEP 1: 분자·분모를 최고차항 x²으로 나누기
(2x² + 3x) / (x² − 1)
= (2x²/x² + 3x/x²) / (x²/x² − 1/x²)
= (2 + 3/x) / (1 − 1/x²)
= (2x²/x² + 3x/x²) / (x²/x² − 1/x²)
= (2 + 3/x) / (1 − 1/x²)
STEP 2: x → ∞ 극한 적용
x → ∞ 이면:
3/x → 0
1/x² → 0
따라서:
(2 + 3/x) / (1 − 1/x²)
→ (2 + 0) / (1 − 0)
= 2 / 1 = 2
3/x → 0
1/x² → 0
따라서:
(2 + 3/x) / (1 − 1/x²)
→ (2 + 0) / (1 − 0)
= 2 / 1 = 2
limx→∞ (2x² + 3x) / (x² − 1) = 2
🧠 빠른 풀이법 — 최고차항 계수만 보기
분자·분모의 차수가 같을 때:
극한값 = 분자 최고차항 계수 / 분모 최고차항 계수
(2x² + 3x) / (x² − 1)
분자 최고차항: 2x² → 계수 2
분모 최고차항: x² → 계수 1
극한 = 2/1 = 2
극한값 = 분자 최고차항 계수 / 분모 최고차항 계수
(2x² + 3x) / (x² − 1)
분자 최고차항: 2x² → 계수 2
분모 최고차항: x² → 계수 1
극한 = 2/1 = 2
🎯 차수별 패턴 비교
| 조건 | 극한값 | 예시 |
|---|---|---|
| 분자 차수 = 분모 차수 | 계수비 | (3x²+1)/(x²+2) → 3 |
| 분자 차수 < 분모 차수 | 0 | (x+1)/(x²+1) → 0 |
| 분자 차수 > 분모 차수 | ±∞ | (x²+1)/(x+1) → ∞ |
💡 유사 문제 연습
| 문제 | 과정 | 답 |
|---|---|---|
| limx→∞ (3x²+x)/(x²+2) | 3x²/x² → 3 | 3 |
| limx→∞ (x+1)/(x²+x) | x/x² → 1/x → 0 | 0 |
| limx→∞ (5x²−2)/(2x²+1) | 5x²/2x² → 5/2 | 5/2 |
❓ FAQ
Q. 왜 x²으로 나누나요?
분자·분모의 이 x²이므로, x²으로 나누면 두 쪽 다 “1 + 작은 항들”로 정리돼요. x→∞이면 작은 항들이 0이 되어 깔끔하게 계산됩니다!최고차항
다항식에서 x의 지수가 가장 큰 항. 극한에서 방향을 결정해요!
Q. 1/∞ = 0이 되는 이유는?
어떤 수를 매우 큰 수로 나누면 0에 가까워져요. 1/100 = 0.01, 1/1000 = 0.001, 1/∞ = 0으로 수렴합니다.
Q. x→∞와 x→-∞의 차이는?
이 문제에서는 (3/x)²처럼 짝수 제곱이 없어서 차이가 없지만, (-1)^n 형태가 있으면 다를 수 있어요. 주의하세요!
Q. 극한이 2라는 게 뭘 의미하나요?
x가 아무리 커져도 이 분수식의 값은 결국 2에 점점 가까워진다는 뜻이에요. 점근선이 y=2라는 의미이기도 해요.
📊 무한대 극한 공식 총정리
| 극한 | 조건 | 비고 |
|---|---|---|
| 1/x → 0 | x → ∞ | 기본 중의 기본 |
| 1/xⁿ → 0 | x → ∞, n>0 | 제곱 이상도 0 |
| c/x → 0 | c는 상수 | 상수도 0 |
| ax^n/bx^n → a/b | 같은 차수 | 계수비 |