안녕하세요! 오늘은 의 기울기를 구하는 방법을 배워요. 롤러코스터에서 특정 위치에서 얼마나 가파른지 재는 것처럼요!접선
곡선 위의 한 점에서 곡선에 딱 붙어 있는 직선이에요
f(x) = x² + 3x 라는 곡선이 있을 때, x = 1 지점에서 접선이 얼마나 기울어져 있는지 구해봐요. 를 이용하면 됩니다!미분계수
특정 x에서의 순간 변화율, 즉 그 점에서의 접선 기울기
📌 오늘의 수능 문제
f(x) = x² + 3x 일 때,
x = 1 에서의 기울기를 구하시오.
(= f'(1) 값은?)
x = 1 에서의
접선
곡선 위의 한 점에서 곡선에 딱 붙어 있는 직선이에요
(= f'(1) 값은?)
정답: 5
🔍 미분이란? — 기울기 기계
미분은 “순간 기울기 계산기”예요. 을 사용하면 어떤 다항함수도 순식간에 미분할 수 있어요.거듭제곱 미분법칙
xⁿ을 미분하면 n·x^(n-1)이 됩니다
거듭제곱 미분 법칙
(xⁿ)’ = n · x^(n-1)
예시:
(x²)’ = 2x¹ = 2x
(x³)’ = 3x²
(x)’ = 1
(상수)’ = 0
(xⁿ)’ = n · x^(n-1)
예시:
(x²)’ = 2x¹ = 2x
(x³)’ = 3x²
(x)’ = 1
(상수)’ = 0
📝 단계별 풀이
STEP 1: f(x) 미분하기
f(x) = x² + 3x
항별로 미분:
(x²)’ = 2x
(3x)’ = 3
따라서 f'(x) = 2x + 3
항별로 미분:
(x²)’ = 2x
(3x)’ = 3
따라서 f'(x) = 2x + 3
STEP 2: x = 1 대입
f'(x) = 2x + 3
f'(1) = 2(1) + 3
= 2 + 3
= 5
f'(1) = 2(1) + 3
= 2 + 3
= 5
x = 1에서 접선 기울기 = f'(1) = 5
📐 접선의 방정식까지 구해보기
기울기뿐 아니라 접선 전체 방정식도 구할 수 있어요!
점 (1, f(1))에서 기울기 5인 직선:
① f(1) = 1² + 3(1) = 1 + 3 = 4 → 점 (1, 4)
② 접선: y − 4 = 5(x − 1)
③ 정리: y = 5x − 5 + 4 = y = 5x − 1
① f(1) = 1² + 3(1) = 1 + 3 = 4 → 점 (1, 4)
② 접선: y − 4 = 5(x − 1)
③ 정리: y = 5x − 5 + 4 = y = 5x − 1
🎯 유사 문제 연습
| 함수 | 미분 | x=1 또는 지정값에서 기울기 |
|---|---|---|
| f(x) = x² + 5x | f'(x) = 2x+5 | x=1: 7 |
| f(x) = x² − 2x + 1 | f'(x) = 2x−2 | x=1: 0 (극솟값) |
| f(x) = 3x² + x | f'(x) = 6x+1 | x=1: 7 |
| f(x) = x² + 3x + 2 | f'(x) = 2x+3 | x=2: 7 |
💡 기울기의 의미
기울기가 양수 (>0): 그 점에서 오른쪽으로 갈수록 올라가요 📈
기울기가 0: 수평선 (극대·극소 후보!) 📊
기울기가 음수 (<0): 그 점에서 오른쪽으로 갈수록 내려가요 📉
f'(1) = 5 > 0 이므로 x=1 지점에서 곡선은 올라가고 있어요!
기울기가 0: 수평선 (극대·극소 후보!) 📊
기울기가 음수 (<0): 그 점에서 오른쪽으로 갈수록 내려가요 📉
f'(1) = 5 > 0 이므로 x=1 지점에서 곡선은 올라가고 있어요!
❓ FAQ
Q. f'(x)와 f'(1)의 차이는?
f'(x)는 “모든 x에서의 기울기 공식”이고, f'(1)은 “x=1이라는 특정 지점의 기울기 값”이에요. 공식 먼저 구하고, 숫자 대입!
Q. 상수를 미분하면 왜 0이 되나요?
상수는 변하지 않으니까 변화율이 0이에요. 평평한 바닥의 기울기는 0이죠!
Q. x²을 미분하면 왜 2x가 되나요?
거듭제곱 법칙: xⁿ을 미분하면 n·x^(n-1). x² = x²이므로 2·x^(2-1) = 2x¹ = 2x!
Q. 접선과 법선의 차이는?
접선은 곡선과 접하는 직선(기울기 f'(a))이고, 법선은 접선에 수직인 직선(기울기 -1/f'(a))이에요.
📊 미분 공식 빠른 참고
| 함수 | 미분 | 이름 |
|---|---|---|
| c (상수) | 0 | c는 아무 수나 |
| xⁿ | n·x^(n-1) | n은 실수 |
| cf(x) | c·f'(x) | 상수배 |
| f(x)+g(x) | f'(x)+g'(x) | 합 |
| f(x)·g(x) | f’g + fg’ | 곱 |