안녕하세요! 오늘은 을 이용해 그래프와 x축 사이의 넓이를 구해봐요. f(x) = x(x − 2)는 x=0에서 x=2 사이에 활처럼 휘어 있는 포물선이에요.정적분
그래프와 x축 사이의 넓이를 구하는 도구예요
포물선과 x축 사이의 를 구하는 방법, 함께 배워봐요!절댓값 넓이
함수가 x축 아래일 때 넓이는 양수이므로, 부호를 뒤집어서 더해요!
📌 오늘의 수능 문제
f(x) = x(x − 2) 와 x축 사이의 넓이를 구하시오.
(x = 0 에서 x = 2 사이 구간)
(x = 0 에서 x = 2 사이 구간)
정답: 4/3
🔍 준비 — 영점과 그래프 모양 파악
먼저 f(x) = x(x−2)의 을 찾아요.영점
함수값이 0이 되는 x의 값 = 그래프가 x축을 만나는 점
f(x) = x(x − 2) = 0
x = 0 또는 x − 2 = 0 → x = 2
영점: x = 0, x = 2
꼭짓점: x = 1 (두 영점의 중간)
f(1) = 1(1−2) = −1 → 아래로 볼록한 포물선이에요
x = 0 또는 x − 2 = 0 → x = 2
영점: x = 0, x = 2
꼭짓점: x = 1 (두 영점의 중간)
f(1) = 1(1−2) = −1 → 아래로 볼록한 포물선이에요
⚠️ 0 ≤ x ≤ 2 구간에서 f(x) ≤ 0 (x축 아래에 있음). 넓이는 항상 양수이므로 −(적분값)으로 계산!
📝 단계별 풀이
STEP 1: f(x) 전개
f(x) = x(x − 2) = x² − 2x
STEP 2: 0에서 2까지 정적분
∫₀² (x² − 2x) dx
= [x³/3 − x²]₀²
= (2³/3 − 2²) − (0 − 0)
= (8/3 − 4)
= 8/3 − 12/3
= −4/3
= [x³/3 − x²]₀²
= (2³/3 − 2²) − (0 − 0)
= (8/3 − 4)
= 8/3 − 12/3
= −4/3
STEP 3: 넓이 = |적분값|
적분값이 음수 → 그래프가 x축 아래에 있다는 뜻
넓이 = |−4/3| = 4/3
넓이 = |−4/3| = 4/3
f(x) = x(x−2)와 x축 사이의 넓이 = 4/3
🧮 정적분 기본 공식
| 적분 | 공식 | 비고 |
|---|---|---|
| ∫ xⁿ dx | xⁿ⁺¹/(n+1) + C | n ≠ −1 |
| ∫ x dx | x²/2 + C | |
| ∫ x² dx | x³/3 + C | |
| ∫₀² x² dx | [x³/3]₀² = 8/3 | 구간 [0,2] |
| ∫₀² 2x dx | [x²]₀² = 4 | 구간 [0,2] |
💡 넓이 계산 주의점
1. 영점 먼저 찾기 → 구간 내 부호 변화 파악
2. x축 위: 적분값 그대로 (양수)
3. x축 아래: −적분값 (부호 뒤집기)
4. 여러 구간: 각 구간 넓이 합산
2. x축 위: 적분값 그대로 (양수)
3. x축 아래: −적분값 (부호 뒤집기)
4. 여러 구간: 각 구간 넓이 합산
❓ FAQ
Q. 왜 적분이 음수가 나왔나요?
정적분은 “넓이”가 아니라 “부호 있는 면적”을 계산해요. x축 아래 영역은 음수로 계산됩니다. 실제 넓이를 구하려면 절댓값을 취해야 해요!
Q. x(x-2) 전개 없이 풀 수 있나요?
네! ∫₀² x(x-2)dx = ∫₀² (x²-2x)dx 로 전개 후 항별로 적분해요. 또는 공식 ∫ₐᵇ(x-a)(x-b)dx = -(b-a)³/6 을 쓰면 -(2-0)³/6 = -8/6 = -4/3. 넓이=4/3!
Q. 포물선과 x축 사이 넓이 공식이 있나요?
두 영점이 a, b인 이차함수 f(x) = k(x-a)(x-b)에서: 넓이 = |k| · (b-a)³/6. 이 공식을 외워두면 빨라요!
Q. 정적분과 부정적분의 차이는?
부정적분은 F(x)+C (함수 형태), 정적분은 구간 [a,b]에서 F(b)-F(a)라는 구체적인 숫자입니다!
📊 이차함수 넓이 공식
| 함수 | 넓이 | 비고 |
|---|---|---|
| y = (x-a)(x-b) | |b-a|³/6 | 최고차항 계수=1 |
| y = k(x-a)(x-b) | |k|·|b-a|³/6 | k가 계수 |
| y = x(x-2) | |2|³/6 = 8/6 = 4/3 | 오늘 문제 |