🔊 읽는 법: f'(x) = 에프 프라임 엑스
💡 노란색 배경 단어를 클릭하면 자세한 설명이 바로 펼쳐집니다!
안녕하세요 여러분! 오늘은 놀이동산의 롤러코스터를 타면서 최고로 높이 올라갔을 때와 가장 깊게 내려갔을 때의 위치를 찾는 아주 신나는 수학 여행을 떠나볼 거예요.
초등학생 친구들도 구구단과 더하기 빼기만 알면 마법처럼 척척 풀 수 있도록, 아주 쉽고 재미있게 비밀을 파헤쳐 줄 테니 눈을 반짝이고 따라오세요!
📌 오늘의 수능 문제
함수 = 의 과 을 구하시오.
f(x)
마법의 자판기에 를 넣으면 결과가 튀어나오는 식 이름이에요.
x
넣는 재료 숫자예요!
x³ − 6x² + 9x
숫자를 세 번 곱하고, 빼고 더하는 복잡한 계산 상자예요!
극댓값
동네 산꼭대기처럼 주변에서 가장 높은 봉우리 높이에요!
극솟값
땅속 동굴처럼 주변에서 가장 깊이 파인 골짜기 바닥이에요!
◄ 역추적 1단계: 정답 확인
여행 목적지 표지판 비유
우리가 어디로 여행을 가는지 먼저 표지판을 보고 확인하는 것과 같아요. 이 문제의 최종 목적지는 롤러코스터가 가장 높이 올라갔을 때의 높이인 극댓값 4와, 가장 낮게 내려갔을 때의 높인 극솟값 0을 정확하게 찾아내는 것이랍니다.
수학에서이란 자판기에 특정 숫자를 쏙 넣었을 때 뱉어내는 높이 결과예요. 예를 들어 을 넣으면 1³ − 6(1)² + 9(1) = 1 − 6 + 9 = 4가 나오고, 을 넣으면 3³ − 6(3)² + 9(3) = 27 − 54 + 27 = 0이 완벽하게 산출돼요.
우리가 어디로 여행을 가는지 먼저 표지판을 보고 확인하는 것과 같아요. 이 문제의 최종 목적지는 롤러코스터가 가장 높이 올라갔을 때의 높이인 극댓값 4와, 가장 낮게 내려갔을 때의 높인 극솟값 0을 정확하게 찾아내는 것이랍니다.
수학에서
함수값
자판기에 숫자를 넣었을 때 툭 하고 튀어나오는 최종 결과물이에요!
x = 1
자판기에 넣는 첫 번째 비밀 재료 숫자예요.
x = 3
자판기에 넣는 두 번째 비밀 재료 숫자예요.
목적지 좌표 확인 표
| 입력값 (x) | 대입 계산 과정 | 결과값 (높이) |
| x = 1 (산봉우리) | 1³ − 6×1² + 9×1 | 극댓값 4 |
| x = 3 (골짜기) | 3³ − 6×3² + 9×3 | 극솟값 0 |
핵심 포인트: 극댓값과 극솟값은 특정 x를 넣었을 때 나오는 튀어나온 봉우리와 움푹 파인 골짜기의 y 높이 결과이다.
◄ 역추적 2단계: 미분 정의
자동차 속도계 비유
자동차가 서울에서 부산까지 갈 때 전체 걸린 시간으로 나눈 평균 속도 말고, 지금 당장 계기판이 가리키는를 아는 것이 바로 예요!
롤러코스터가 아주 높이 올라가서 꼭대기에 멈춘 찰나에는 올라가던 방향에서 내려가는 방향으로 바뀌기 때문에, 그 순간의 오르막가 정확히 0이 돼요. 수학에서는 이 미분 공식을 이용해 지수를 앞으로 쏙 내리고 차수를 1씩 깎는 규칙으로 f'(x) = 3x² − 12x + 9 를 얻어내죠.
자동차가 서울에서 부산까지 갈 때 전체 걸린 시간으로 나눈 평균 속도 말고, 지금 당장 계기판이 가리키는
순간 속도
아주 찰나의 순간에 차가 얼마나 빠르게 움직이는지 나타내는 속도예요!
미분
아주아주 쪼개어서 변화하는 순간의 기울기를 알아내는 마법의 수학 도구예요!
롤러코스터가 아주 높이 올라가서 꼭대기에 멈춘 찰나에는 올라가던 방향에서 내려가는 방향으로 바뀌기 때문에, 그 순간의 오르막
기울기
미끄럼틀이 얼마나 낭떠러지처럼 가파르게 생겼는지 보여주는 정도예요!
도함수
원래 식을 미분해서 기울기 변화를 알려주는 새로운 자판기 식이에요!
미분 공식 적용 표
| 원래 항 | 미분 규칙 적용 | 미분 결과 |
| x³ | 지수 3을 앞으로 내리고 차수를 2로 변경 | 3x² |
| −6x² | −6에 2를 곱하고 차수를 1로 변경 | −12x |
| 9x | 9x에서 x를 없앰 | 9 |
핵심 포인트: 미분을 통해 구한 도함수 f'(x)의 값이 0이 되는 곳이 바로 롤러코스터의 꼭대기나 골짜기 후보이다.
◄ 역추적 3단계: 계산 전개
레고 조립 및 사탕 나누기 비유
레고 블록을 똑같은 모양끼리 묶어서 정리하듯, 복잡한 식 3x² − 12x + 9 를 똑같은 숫자로 묶어주는를 하는 과정이에요.
먼저 공통으로 들어 있는 숫자 3을 밖으로 쏙 빼내면 3(x² − 4x + 3)이 되고, 곱해서 3이 되고 더해서 −4가 되는 두 숫자를 찾으면 −1과 −3이므로 완전한 형태인 3(x − 1)(x − 3) = 0 으로 변신해요!
레고 블록을 똑같은 모양끼리 묶어서 정리하듯, 복잡한 식 3x² − 12x + 9 를 똑같은 숫자로 묶어주는
인수분해
더하기로 연결된 식을 곱셈 모양의 레고 조립 블록으로 분해하는 거예요!
먼저 공통으로 들어 있는 숫자 3을 밖으로 쏙 빼내면 3(x² − 4x + 3)이 되고, 곱해서 3이 되고 더해서 −4가 되는 두 숫자를 찾으면 −1과 −3이므로 완전한
이차방정식
가장 큰 콧대가 x의 제곱(x²)인 방정식을 뜻해요!
인수분해 단계별 표
| 변형 단계 | 계산 내용 | 결과식 |
| 1단계 (공통인수 묶기) | 3으로 전체 나누기 묶기 | 3(x² − 4x + 3) |
| 2단계 (곱해서 합하기) | 곱해서 3, 더해서 −4 찾기 | 3(x − 1)(x − 3) |
| 3단계 (해 구하기) | 식 전체가 0이 되는 x값 찾기 | x = 1 또는 x = 3 |
핵심 포인트: 인수분해를 통해 기울기가 0이 되는 지점인 x = 1과 x = 3을 아주 쉽게 찾아낼 수 있다.
◄ 역추적 4단계: 핵심 개념
산꼭대기 경사도 및 증감표 비유
등산을 할 때 가파른 언덕을 올라갈 때는 숨이 차고(+), 산꼭대기에 다다르면 평평해지고(0), 내려갈 때는 스르륵 미끄러져 내려가는(−) 원리와 똑같아요.
수학에서는 이 변화를 한눈에 알아보기 위해를 써요. x가 1보다 작을 때는 기울기가 양수(+)여서 올라가고, 1과 3 사이에서는 음수(−)여서 내려가고, 3보다 클 때는 다시 양수(+)여서 올라가므로 x = 1에서 , x = 3에서 가 확정돼요.
등산을 할 때 가파른 언덕을 올라갈 때는 숨이 차고(+), 산꼭대기에 다다르면 평평해지고(0), 내려갈 때는 스르륵 미끄러져 내려가는(−) 원리와 똑같아요.
수학에서는 이 변화를 한눈에 알아보기 위해
증감표
그래프가 올라가는지 내려가는지 부호로 꼼꼼하게 정리해 둔 표예요!
극대
올라가다가 내려가기 직전의 최고 높은 봉우리예요!
극소
내려가다가 올라가기 직전의 최저 바닥 골짜기예요!
부호 변화 증감표
| x 범위 | x < 1 | x = 1 | 1 < x < 3 | x = 3 | x > 3 |
| f'(x) 부호 | + (플러스) | 0 | – (마이너스) | 0 | + (플러스) |
| 그래프 모양 | 쑥쑥 상승 | 극대 (봉우리) | 스르륵 하강 | 극소 (바닥) | 다시 상승 |
🎯 최종 정답: 극댓값 4, 극솟값 0
✏️ 수능수학 개념 확인! 방금 배운 내용으로 테스트
5문제 · 문제를 클릭하면 바로 정답 확인!
Q1. 함수 f(x) = x³ – 6x² + 9x의 도함수 f'(x)는 무엇인가?
Q2. 도함수 f'(x) = 3x² – 12x + 9를 인수분해한 식은 무엇인가?
Q3. f'(x) = 0을 만족하는 x의 값으로 올바른 것은?
Q4. 주어진 함수 f(x) = x³ – 6x² + 9x에서 x = 1일 때의 극댓값은 얼마인가?
Q5. 주어진 함수 f(x) = x³ – 6x² + 9x에서 x = 3일 때의 극솟값은 얼마인가?
Amazon: Recommendations
- 아마존 추천 - 확인 필요
100%