안녕하세요! 오늘 다룰 문제는 일정한 규칙으로 커지는 숫자들을 열 개 모아서 모두 더했을 때 총합이 얼마가 되는지 맞추는 신나는 숫자 여행입니다. 초등학생 친구들도 구구단과 더하기만 알면 충분히 풀 수 있으니, 아주 재미있는 이야기처럼 하나씩 차근차근 함께 풀어볼까요?
📌 오늘의 수능 문제
초항이 a = 2
수열의 가장 첫 번째에 오는 시작 숫자를 뜻해요. 보물찾기의 출발점과 같아요!
이고, 공차 d = 3
숫자들이 커질 때 일정하게 더해지는 일정한 크기의 규칙적인 숫자에요. 계단을 한 칸씩 오를 때 올라가는 높이와 같아요!
인 등차수열 2, 5, 8, 11, …
일정한 규칙(차이가 같음)으로 나열된 숫자들의 모임이에요. 예를 들어 규칙성
반복되는 약속이나 패턴입니다.
에 따라 3씩 커집니다.
에서, 첫째항부터 10번째항까지의 합 S₁₀
처음부터 열 번째 숫자까지 모두 더한 총합을 의미해요.
을 구하시오.
◄ 역추적 1단계: 정답 확인
여행 목적지 표지판 비유
마치 자동차 내비게이션에 목적지를 찍었을 때 최종 도착지가 어디인지 먼저 확인하고 출발하는 것과 같습니다. 우리가 최종적으로 구해야 할 최종 답 155
등차수열의 1항부터 10항까지의 모든 숫자를 합산한 결과값입니다.
는 1부터 10번째 숫자까지의 규칙적인 합산을 완성했을 때 나오는 정확한 값입니다.
수학에서는 등차수열의 합 공식
Sₙ = n/2 × (2a + (n-1)d)
항의 개수 n을 반으로 나누고 첫째항의 두 배에 (n-1)곱하기 공차를 더한 값을 곱하는 마법의 공식이에요.
을 활용하여 구합니다. 여기에 n=10, a=2, d=3을 대입하면 S₁₀ = 10/2 × (2×2 + (10-1)×3)이 되고, 이를 계산하면 155가 도출됩니다.
1단계 계산 구조 확인표
항의 개수 (n)
10
대입 결과
첫째항 (a)
2
S₁₀ = 155
공차 (d)
3
완성
핵심 포인트: 목표로 하는 최종 결과값 155의 의미를 파악하고 공식을 적용할 준비를 완료합니다.
◄ 역추적 2단계: 수열 정의
자동차 속도계 (평균속도와 순간속도) 비유
자동차가 달릴 때 순간순간의 속도계늘 보는 것과 전체 구간의 평균적인 움직임을 파악하는 것은 다릅니다. 수열 역시 개별 숫자가 어떻게 변하는지 (극한
어떤 값이 한없이 다가가는 상태나 성질을 뜻해요. 마치 끝없는 지평선을 향해 걸어가는 것과 같아요.
이나 변화율
얼마나 빠르고 크게 변하는지를 나타내는 비율이에요.
관점)와 전체적인 흐름을 이해하는 과정이 필요합니다.
이 문제에서 주어진 수열은 2, 5, 8, 11로 이어지며 항이 커질 때마다 정확히 3씩 커집니다. 고등학교 과정에서는 이를 일반항 aₙ = a + (n-1)d
몇 번째 숫자인지만 알면 그 숫자가 무엇인지 바로 찾아낼 수 있는 마법의 공식이에요.
으로 표현하며, 여기에 a=2, d=3을 대입하면 aₙ = 2 + (n-1)×3 = 3n – 1이 됩니다. 이 공식을 통해 10번째 항을 구해보면 a₁₀ = 3×10 – 1 = 29가 됨을 확인할 수 있습니다.
수열의 나열 과정 표
항의 번호 (n)
1, 2, 3, 4, …, 10
규칙
실제 숫자 (aₙ)
2, 5, 8, 11, …, 29
+3씩 증가
핵심 포인트: 일반항 공식을 통해 10번째 항이 29라는 것을 정확히 밝혀냈습니다.
◄ 역추적 3단계: 계산 전개
레고 조립과 사탕 나눠주기 비유
여러 상자에 들어 있는 사탕을 똑같이 나누어 담거나 레고 블록을 규칙에 맞게 차곡차곡 조립하는 과정과 같습니다. 수식을 다룰 때는 분배법칙
괄호 바깥의 숫자를 괄호 안의 모든 숫자들에게 공평하게 나누어 곱해주는 법칙이에요.
과 인수분해
복잡한 식을 곱셈의 형태로 간단하게 쪼개거나 묶어주는 과정입니다.
를 활용해 식을 깔끔하게 정돈해야 합니다.
실제 합 공식에 숫자를 넣어 계산을 전개해 봅시다. S₁₀ = 10/2 × (2×2 + (10-1)×3) 식에서 괄호 안을 먼저 계산하면 2×2 = 4이고, (10-1)×3 = 9×3 = 27이 됩니다. 이 둘을 더하면 4 + 27 = 31이 되고, 앞에 있던 10/2 = 5를 곱해주면 5 × 31 = 155가 완성됩니다.
단계별 연산 전개 표
연산 단계
계산 내용
중간 결과
1단계 (약분)
10 / 2
5
2단계 (괄호 안)
4 + (9 × 3) = 4 + 27
31
3단계 (최종곱)
5 × 31
155
핵심 포인트: 괄호 안의 연산을 우선 처리하고 분배법칙을 적용하여 최종 값 155를 이끌어냈습니다.
◄ 역추적 4단계: 핵심 개념
산꼭대기 경사도와 격자무늬 종이 넓이 비유
산을 오를 때 일정한 경사로 꾸준히 올라가는 높낮이나, 모눈종이 위에 그려진 사각형들의 전체 면적을 구하는 것과 수학적 원리가 같습니다. 수학에서는 이를 기울기
비탈길이 얼마나 가파른지를 나타내는 수치로, 등차수열의 공차와 아주 밀접해요.
와 넓이
평면이 차지하는 크기로, 수열의 합을 기하학적으로 해석할 때 사용돼요.
직관을 통해 이해할 수 있습니다.
등차수열의 합은 첫 번째 항과 마지막 항을 더한 뒤 항의 개수를 곱하고 2로 나누는 형태인데, 이는 사다리꼴의 넓이 공식인 (윗변+아랫변)×높이÷2 와 완벽하게 일치합니다. 첫항 2와 마지막항 29를 더하면 31이고, 여기에 10을 곱한 뒤 2로 나누면 정확히 155가 나오며, 이는 사다리꼴 넓이 구하기와 구조가 같습니다.
기하학적 비교 표
사다리꼴 넓이 공식
(윗변 + 아랫변) × 높이 ÷ 2
대응
등차수열 합 공식
(첫째항 + 마지막항) × 항수 ÷ 2
일치
핵심 포인트: 수열의 합을 사다리꼴의 넓이로 치환하여 직관적으로 이해하고 155라는 결과를 도출했습니다.
◄ 역추적 5단계: 중학교 개념
중학교 좌표평면 그래프 비유
모눈종이 위에 가로축과 세로축을 그리고 점들을 찍어서 일직선 모양의 그래프를 그렸던 기억이 나나요? 중학교 때 배운 일차함수와 좌표평면 개념이 바로 수열의 뼈대가 됩니다.
일차함수 y = 3x – 1 에 x 대신 1, 2, 3, …, 10을 대입하면 y 값은 차례대로 2, 5, 8, 11, …, 29가 됩니다. 이 점들을 좌표평면에 찍으면 정확히 일정한 간격으로 위로 향하는 직선 위의 점들이 되며, 이 점들의 세로 높이 총합을 구하는 것이 곧 이 문제의 핵심입니다. x=10일 때 y=29가 되는 점을 포함하여 모든 높이를 더하면 최종 합산값이 산출됩니다.
일차함수 좌표 대응 표<
🎯 최종 정답:155
✏️ 수능수학 개념 확인! 방금 배운 내용으로 테스트
5문제 · 문제를 클릭하면 바로 정답 확인!
Q1. 등차수열 2, 5, 8, 11, … 의 첫째항 a는 얼마인가?
Q2. 등차수열 2, 5, 8, 11, … 의 공차 d는 얼마인가?
Q3. 첫째항이 2이고 공차가 3인 등차수열의 일반항 $a_n$을 구하면?
Q4. 등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합 $S_n$을 구하는 공식에서 $S_{10}$을 구할 때 대입하는 항의 개수 n은?
