안녕하세요! 오늘 풀어볼 문제는 규칙적으로 커지는 숫자들이 있을 때, 다섯 번째에 올 숫자가 무엇인지 맞혀보는 아주 재미있는 수수께끼 같은 문제예요. 초등학생 친구들도 구구단과 곱셈만 알면 척척 풀 수 있으니, 아주 쉽고 신나게 출발해 볼까요?
수학은 눈으로만 읽으면 어려울 수 있지만, 우리가 일상생활에서 매일 보는 규칙들이랑 똑같답니다. 자, 그럼 엉뚱하고 신기한 역추적 여행을 떠나볼 준비 되었나요? 지금부터 하나씩 비밀을 파헤쳐 볼게요!
📌 오늘의 수능 문제
초항이 2
수열의 가장 첫 번째에 나오는 출발점 숫자예요! 줄 서 있는 친구들 중 맨 앞에 서 있는 대장 친구랍니다.
이고 공비
곱해지는 비율
얼마나 크기를 똑같이 만들어주는지 나타내는 배수 마법이에요!
예요. 숫자가 똑같은 크기만큼 계속 커지도록 곱해주는 마법의 배수랍니다.
가 3
세 개씩 묶어주는 마법의 숫자예요! 삼총사처럼 항상 세 배씩 쑥쑥 커지게 만들어요.
인 등비수열
일정한 곱하기 규칙을 가지고 나란히 줄을 서 있는 숫자들의 모임이에요! 앞 친구에게 똑같은 수를 곱해서 다음 친구가 되지요.
2, 6, 18, 54, … 의 제5항
줄 서 있는 친구들 중에서 다섯 번째 자리에 딱 앉아 있는 바로 그 숫자를 뜻해요!
을 구하시오.
◄ 역추적 1단계: 정답 확인 — 최종 답 162 의 의미
여행 목적지 표지판 비유
먼 먼 자동차 여행을 떠날 때, 네비게이션이 “목적지까지 남은 거리는 162km입니다!”라고 알려주면 우리는 그곳이 어디쯤인지 설레는 마음으로 상상하게 되죠? 이 단계는 우리가 찾아낸 최종 목적지인 162라는 숫자가 이 수열의 세계에서 정확히 어떤 위치와 가치를 가지는지 확인하는 시간입니다. 수열
규칙을 가지고 차례대로 나열된 숫자들의 줄을 말해요. 규칙에 따라 커지거나 작아진답니다.
의 규칙을 타고 다섯 번 움직였을 때 도착하는 최종 지점이 바로 162라는 멋진 표지판이 되는 셈이에요. 이 숫자는 그냥 랜덤한 수가 아니라 앞서 가던 54라는 친구에게 강력한 배수
어떤 수에 정수를 곱해서 만들어지는 수예요. 3의 배수라면 3, 6, 9처럼 3씩 커지는 수들이죠.
마법을 한 번 더 부려서 낳은 영광스러운 결과물이지요.
구체적인 예시로, 만약 첫 번째 숫자가 1이고 공비가 3이었다면 다섯 번째는 1, 3, 9, 27, 81이 되겠지만, 우리 문제에서는 초항이 2이므로 정확히 그 두 배인 162가 완성되는 것입니다.
1단계 순서별 숫자 변동 표
위치 (항)
만들어지는 과정
값
제1항
출발점
2
제2항
2 × 3
6
제3항
6 × 3
18
제4항
18 × 3
54
제5항
54 × 3
162
핵심 포인트: 최종 답 162는 첫째 항 2에 공비 3을 총 네 번 곱해서 도달한 제5항의 정확한 값입니다.
◄ 역추적 2단계: 수열 정의 — 공식이 어디서 왔는가
자동차 속도계 비유
자동차가 서울에서 부산까지 갈 때 전체 평균 속도로 달릴 수도 있지만, 순간순간 속도계가 가리키는 눈금은 계속 변하죠? 이처럼 수열의 일반항 공식도 어떤 칸으로 가든 일정한 규칙(속도)으로 점프하게 만드는 원리에서 탄생했어요. 수학에서 극한
끝없이 한없이 다가가는 상태를 말해요! 저 멀리 지평선 끝을 향해 달리는 것과 같아요.
이나 미분에서 h→0
아주아주 미세한 간격을 0에 가깝게 좁혀서 딱 붙여버린다는 뜻이에요! 순간의 변화를 잡을 때 쓴답니다.
개념처럼, 등비수열의 공식 a_n = a × r^(n-1) 역시 첫째 항부터 시작해 몇 번이나 곱셈 칸을 건너뛰었는지를 일반화한 함수
마법의 자판기처럼, 재료를 넣으면 딱 정해진 결과물이 튀어나오는 규칙 상자예요!
구조에서 왔답니다.
만약 n번째 항을 구하고 싶다면, 첫 번째 항에서 출발해 공비를 (n-1)번 곱해야 한다는 규칙이 바로 등비수열의 근본적인 정의입니다. 왜 n이 아니라 n-1번이냐고요? 첫 번째 항 자체에는 이미 공비를 0번 곱한 상태이기 때문이에요!
구체적인 예로, 세 번째 항(n=3)을 구할 때는 공비를 3-1 = 2번 곱하게 되므로, a_3 = 2 × 3² = 2 × 9 = 18이 되어 눈으로 확인한 18과 완벽히 일치하게 됩니다.
2단계 항 번호와 곱셈 횟수 비교 표
원하는 항 (n)
공비 곱하는 횟수 (n-1)
공식 적용식
n = 1
1 – 1 = 0번
2 × 3^0 = 2
n = 3
3 – 1 = 2번
2 × 3² = 18
n = 5
5 – 1 = 4번
2 × 3⁴ = 162
핵심 포인트: n번째 항을 구할 때 공비는 항의 번호보다 하나 적은 (n-1)번 곱해진다는 규칙이 등비수열 공식의 핵심입니다.
◄ 역추적 3단계: 계산 전개 — 분배법칙·인수분해 등 단계별 계산
레고 조립 / 사탕 나눠주기 비유
알록달록한 레고 블록을 조립할 때 부품을 한꺼번에 뭉쳐서 끼우려고 하면 부서지기 쉽죠? 차근차근 순서대로 결합해야 멋진 로봇이 완성되듯, 수학 계산도 분배법칙
사탕 상자를 나눠줄 때 묶음 안의 친구들에게 하나씩 공평하게 나누어주는 마법의 법칙이에요!
이나 인수분해
복잡하게 얽혀 있는 식을 곱셈의 조각들로 예쁘게 분해해서 쪼개주는 정돈 기술이에요!
같은 기본 법칙들을 단계별로 차근차근 적용해야 실수 없이 정답에 도달할 수 있습니다.
우리 문제의 계산 식인 2 × 3⁴를 풀 때도, 3을 네 번 연속으로 곱하는 거듭제곱 계산을 먼저 정확하게 수행해야 해요. 3의 4제곱은 3을 네 번 곱하는 것이므로 3 × 3 × 3 × 3 = 81이 됩니다.
그런 다음 마지막으로 첫째 항인 2와 곱해주면 2 × 81 = 162라는 깔끔한 숫자가 나오지요. 이 과정에서 다항식
여러 개의 항들이 더하기나 빼기로 연결되어 있는 커다란 수식 덩어리를 말해요!
계산의 기초가 되는 연산 순서 법칙이 완벽하게 적용된 것입니다.
3단계 거듭제곱 계산 단계별 전개 표
연산 단계
상세 계산 과정
중간 결과
1단계
3 × 3
9
2단계
9 × 3
27
3단계
27 × 3 (즉 3⁴)
81
4단계
2 × 81
162
핵심 포인트: 거듭제곱(3⁴ = 81)을 먼저 계산한 뒤 초항(2)을 곱하는 순서대로 전개해야 오류가 없습니다.
◄ 역추적 4단계: 핵심 개념 — 기울기/극한/넓이 직관적 이해
산꼭대기 경사도 / 격자무늬 종이 넓이 비유
가파른 산을 오를 때 처음에는 완만하다가 점점 훅 하고 가파라지는 등산로를 본 적 있나요? 등비수열이 커지는 모습도 이와 정확히 닮아 있답니다. 수학에서 기울기
오르막길이 얼마나 가파른지 수치로 보여주는 마법의 눈금이에요! 숫자가 클수록 엄청 가파르지요.
가 일정하게 더해지는 등차수열과 달리, 등비수열은 지수적으로 폭발하듯 가파라지기 때문에 넓이
도형이 차지하고 있는 평면의 크기를 뜻해요. 가로와 세로를 곱해서 구한답니다.
를 구할 때처럼 순식간에 엄청난 크기로 불어나게 됩니다.
이러한 성질은 금융 세계에서 복리 이자가 불어나는 원리나 바이러스가 순식간에 퍼지는 모습 등 자연 현상 전반에 걸쳐 강력하게 작용해요. 우리가 다루는 수열의 각 항들을 좌표평면 위에 점으로 찍어보면, 완만한 직선이 아니라 위로 솟구치는 아름다운 곡선 모양의 미분
변화율을 나타내는 개념으로 곡선의 기울기를 구할 때 사용해요.
🎯 최종 정답:162
✏️ 수능수학 개념 확인! 방금 배운 내용으로 테스트
5문제 · 문제를 클릭하면 바로 정답 확인!
Q1. 등비수열 2, 6, 18, 54, … 의 첫째항 a는 얼마인가?
Q2. 등비수열 2, 6, 18, 54, … 의 공비 r은 얼마인가?
Q3. 등비수열의 일반항 공식 $a_n = ar^{n-1}$에 $a=2, r=3$을 대입할 때, 제5항 $a_5$를 구하기 위한 식은?
