이 문제는 자판기에 넣은 동전이 나올 때, 변화하는 속도가 얼마나 빠른지 거꾸로 추적해서 알아내는 문제입니다. 최종적으로 마법의 공식을 사용해 정답을 찾아가는 과정을 아주 쉽게 해결해 보겠습니다.
📌 오늘의 수능 문제
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◄ 역추적 1단계: 정답 확인
여행을 끝내고 목적지에 도착했을 때 보이는 표지판처럼, 이 문제의 최종 정답은 3x²입니다.
이 식은 정육면체의 크기가 변할 때, 그 부피가 커지는 순간적인 속도가 3x²만큼 커진다는 것을 의미하는 상수
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◄ 역추적 2단계: 미분 정의
서울에서 부산까지 갈 때 걸린 전체 평균 속도 말고, 지금 이 순간 자동차 계기판이 가리키는 속도를 보고 싶을 때 미분
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이 미분은 아주아주 미세한 차이를 비교하는 극한
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◄ 역추적 3단계: 계산 전개
공식을 쓰기 전, 사탕을 3봉지씩 나누어주듯 분배법칙
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이때 식에 붙어 있는 계수
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◄ 역추적 4단계: 핵심 개념 (기울기/극한/넓이)
그래프가 언덕처럼 굽어져 있을 때, 특정 지점의 가파른 정도를 구하는 것이 바로 접선의 기울기
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이때 적분
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◄ 역추적 5단계: 중학교 개념
중학교 때 배운 좌표평면 위에 점을 콕콕 찍어 x의 제곱
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이처럼 그래프가 어떻게 생겼는지 머릿속으로 떠올릴 수 있다면, 변화가 얼마나 빠르게 일어나는지 눈으로 보는 것처럼 쉽게 이해할 수 있어요.
◄ 역추적 6단계: 초등학교 개념
초등학교 때 배운 구구단과 똑같이, 미분 공식도 숫자를 앞으로 톡! 내리고 지수를 1씩 빼주는 규칙만 알면 끝이에요.
주사위 같은 정육면체 모형을 머릿속으로 상상하며 덧셈과 곱셈을 하듯 다루면, 고등학교 수학도 초등학생처럼 쉽고 재미있게 풀 수 있답니다!
🎯 최종 계산: 정답 = 3x²
2. 지수 ‘3’을 앞으로 내려 곱해주고, 기존의 지수 ‘3’에서 1을 빼줍니다.
3. 계산 결과 3 곱하기 x의 (3-1)제곱이 되므로, 최종 정답은 3x²이 됩니다!
🔄 전체 흐름 요약표
| 단계 | 내용 | 핵심 개념 |
|---|---|---|
| 1단계 | 정답 확인 | 상수와 지수 |
| 2단계 | 미분 정의 | 극한과 변화율 |
| 3단계 | 계산 전개 | 분배법칙과 계수 |
| 4단계 | 핵심 개념 | 기울기와 적분 |
| 5단계 | 중학교 개념 | 그래프와 넓이 |
| 6단계 | 초등학교 개념 | 구구단과 부피 |
💡 결론: 공식은 외우는 게 아니라 이해하는 것
공식을 무작정 외우지 말고 원리를 이해하면 어떤 어려운 수능 문제도 쉽게 풀 수 있습니다. 오늘 배운 내용을 바탕으로 자신감을 가지고 다음 문제도 도전해 보세요!이 문제는 주어진 함수 f(x) = x³에 대해 도함수 f'(x)를 구하는 기본적인 미분 계산 문항입니다.
미분의 정의와 거듭제곱 법칙을 활용하여 빠르고 정확하게 도함수를 유도하는 과정을 알아봅니다.
1단계: 미분 공식 확인하기
다항함수의 미분에서 가장 기본이 되는 공식은 거듭제곱 법칙입니다. f(x) = x^n 형태의 함수를 미분하면 n이 계수로 내려오고 지수는 1 줄어들어 nx^(n-1)이 됩니다.
2단계: 주어진 함수 대입하기
문제에서 주어진 함수는 f(x) = x^3입니다. 거듭제곱 법칙의 공식에서 n 자리에 3을 대입하여 계산을 준비합니다.
3단계: 공식 적용 및 계산하기
법칙에 따라 3을 앞으로 내리고 지수 3에서 1을 빼줍니다. 그러면 3x^(3-1)이 되어 3x^2이라는 결과를 얻게 됩니다.
4단계: 최종 정답 확인하기
계산된 결과인 f'(x) = 3x^2이 최종 도함수임을 확인하고 마무리합니다.
style=”font-family:’Noto Sans KR’,sans-serif;max-width:960px;margin:0 auto;color:#2c3e50;line-height:2;font-size:1.05em;”>수능 수학 문제를 구구단까지 역추적합니다.
모르는 용어/기호가 있으면 바로 옆 ? 버튼을 눌러보세요. 설명이 펼쳐집니다!
📌 오늘의 수능 문제
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자판기에 동전을 넣으면 음료가 나오듯,
x(동전)를 넣으면 f(x)(음료)가 나와요!f가 뭔가요?
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“f(x)”는 “f라는 함수에 x를 입력”이라는 뜻!함수(函數)란?
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f(x) = x²이면: 3을 넣으면 9가 나와요.
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x=2이면: 2³ = 2×2×2 = 8
x=3이면: 3³ = 3×3×3 = 27세제곱이 뭔가요?
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2³ = 2×2×2 = 8
→ 정육면체(주사위) 부피와 같아요!부피가 뭔가요?
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한 변이 2인 정육면체 = 2×2×2 = 8칸³
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x=1이면: 3×(1)² = 3×1 = 3
x=2이면: 3×(2)² = 3×4 = 12“3”은 뭔가요?
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“x²가 3개 있다”는 뜻이에요.
사과 3개 = 3×(사과1개) 와 같아요!
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어떤 x를 대입해도 이 항은 항상 +2예요.상수가 뭔가요?
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x가 1이든 100이든 +2는 변하지 않아요.
f'(x)
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f(x) = 위치라면, f'(x) = 속도(기울기)예요.
x=1에서의 기울기를 알려줘요!미분이 뭔가요?
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자동차 속도계처럼 “지금 이 순간 얼마나 빠른지”기울기가 뭔가요?
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산의 오르막 = 기울기가 큰 것
완경사 = 기울기가 작은 것
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3 + 2 = 5 → “3더하기2와 5는 같다”
→ x=1인 점에서의 기울기를 구하여라
대부분의 수험생은 이렇게 풀죠:
지금부터 한 단계씩 아래로 내려가 보겠습니다.
◄ 역추적 1단계: 미분의 정의 — 순간 기울기를 구하는 공식
서울에서 부산까지 4시간에 400km를 갔다면
평균 속도 = 100km/h
하지만 고속도로 진입 순간 속도계는? → 순간 속도
미분 = 평균 기울기를 h→0으로 줄여서 순간 기울기를 얻는 방법
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f(x) = 위치라면, f'(x) = 속도(기울기)예요.
x=1에서의 기울기를 알려줘요!미분이 뭔가요?
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자동차 속도계처럼 “지금 이 순간 얼마나 빠른지”기울기가 뭔가요?
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산의 오르막 = 기울기가 큰 것
완경사 = 기울기가 작은 것
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3 + 2 = 5 → “3더하기2와 5는 같다”
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lim(h→0)은 “h가 0에 점점 가까워질 때”극한이 왜 필요한가요?
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“0에 가까워지지만 0은 아닌” 상태를 씁니다.분모가 0이면 왜 안 되나요?
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“6개를 0명이 나눠가져” = 말이 안 돼요.
그래서 h를 0에 가까이지만 0은 아닌 값으로 씁니다.
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P에서 Q까지의 x 거리를 나타내요.
h가 0이 되면 Q가 P와 완전히 붙어요!왜 h라고 쓰나요?
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“increment(증가분)”의 약자예요.
“아주 조금 움직인 거리”
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분자: f(x+h)−f(x) = h만큼 움직였을 때 f값 변화량
분모: h = x가 변한 양
→ “변화량 ÷ 이동 거리” = 평균 기울기!분수가 뭔가요?
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위(분자) ÷ 아래(분모)
3/4 = 3÷4 = 0.75분자/분모 구별법?
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분모(分母) = 아래에 있는 것
“분모가 엄마(母)처럼 아래에서 받쳐줌”
- lim아래 그림에서 Q1이 멀리 있을 때 → 평균 기울기
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극한(極限)이에요. “한없이 가까워진다”는 뜻.
lim(h→0)은 “h가 0에 점점 가까워질 때”극한이 왜 필요한가요??
h=0을 바로 넣으면 분모가 0이 되어 불가능해요.
“0에 가까워지지만 0은 아닌” 상태를 씁니다.분모가 0이면 왜 안 되나요??
예: 6÷0 = ? → 불가능해요!
“6개를 0명이 나눠가져” = 말이 안 돼요.
그래서 h를 0에 가까이지만 0은 아닌 값으로 씁니다.?
P와 Q 사이 직선의 기울기 - Q2, Q3 순서로 P에 가까워지면 → 기울기가 점점 정확해짐
- Q가 P와 완전히 붙으면 (h→0) → 순간 기울기= 미분!
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한 점에서의 정확한 기울기 = 미분값
◄ 역추적 2단계: (x+h)³ 전개 — 분배법칙 단계적 적용
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4×(2+3) = 4×2 + 4×3 = 8+12 = 20
괄호 밖 수를 안쪽 각각에 곱해요!왜 이게 성립하나요?
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= (4개씩 2묶음) + (4개씩 3묶음)
= 8 + 12 = 20 ✓
4 × (2 + 3) = 4×2
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괄호 밖 숫자를 안쪽 각각에 곱해요!
(x+h)³ 전개
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(x+h)³ = (x+h)×(x+h)×(x+h)전개가 뭔가요?
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괄호 안을 곱해서 풀어놓는 것.
예: (2+3)×4 = 2×4 + 3×4 = 20왜 전개가 필요한가요?
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괄호 안에 x+h가 있으면 계산이 복잡해서
풀어서 각 항을 따로 처리해요.
위 그림이 안 보여주는 것:
(a+b)²?
→ 4조각 직사각형의 넓이 합!
같은 원리로: (x+h)³?
◄ 역추적 3단계: h → 0 대입 — 미분 공식이 나타납니다!
[f(x+h) − f(x)] ÷ h
= [3x²h + 3xh² + h³ − 6xh − 3h²] ÷ h
약산
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없애는 것이에요.
3h/h = 3 (h 위아래 약산)
6h²/h = 6h (h 하나 약산)약산 예시가 더 있나요?
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6xy/3y = 2x (3y로 약산)
핵심: 위아래 둘 다 있는 것을 없앤다!
= 3x²
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h→0
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h=0.1, 0.01, 0.001… 이렇게 점점 작아져요.
h가 붙은 항(3xh, h² 등)은 거의 0이 돼요!왜 h가 0이 되면 항들이 사라지나요?
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3×x×0.001 = 0.003x → 거의 0
(0.001)² = 0.000001 → 거의 0
극한에서 이런 “거의 0″은 0으로 봐요!
3xh + h² + −3h ← h가 붙어있어서 모두 0!
🎯 최종 계산: f'(1) = ?
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f(x) = 위치라면, f'(x) = 속도(기울기)예요.
x=1에서의 기울기를 알려줘요!미분이 뭔가요?
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자동차 속도계처럼 “지금 이 순간 얼마나 빠른지”기울기가 뭔가요?
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산의 오르막 = 기울기가 큰 것
완경사 = 기울기가 작은 것
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f'(x) = 3x² − 6x 에서 x=1 대입:
→ x 자리마다 1로 바꾼다!
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↑ x 자리에 전부 1을 넣음
= 3 × 1
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= 3
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= −3 왜 음수?
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5원 있는데 6원 내면 1원 빚 = −1
3 − 6 = −3도 같은 원리!뺄셈이 음수가 되는 이유?
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5 − 3 = 2 (양수)
3 − 5 = −2 (음수)
x=1인 점에서 기울기가 −3 = 내리막 경사예요!
◄ 역추적 4단계: 기울기란 무엇인가? — 중학교 개념으로 이해
중학교 1차함수 y = ax + b의 기울기 a는:
가로로 1 이동할 때 세로로 얼마 이동하는지를 나타냅니다.
기울기?
기울기 = 세로 변화량 ÷ 가로 변화량
오르막(+), 내리막(−), 평평(0)기울기가 −3이면??
x가 1 증가할 때 y가 3 감소해요.
급한 내리막일수록 절댓값이 커요.절댓값이 뭔가요??
|−3| = 3, |5| = 5
“크기만 보는 것”?
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미분은 이 기울기를 곡선의 한 점에서 정확히 구하는 것!
◄ 역추적 5단계: 곱셈 = 직사각형 넓이 — 눈으로 보는 곱셈
가로 4칸, 세로 3칸짜리 직사각형은 칸이 총 12개.
직사각형 넓이?
가로 4칸, 세로 3칸 → 넓이 = 4×3 = 12칸²
→ 이게 곱셈의 시각적 의미예요!왜 넓이가 가로×세로인가요??
4+4+4 = 12개 = 4×3 ✓
(x+h)²?
◄ 역추적 6단계: 구구단 → 덧셈 반복 — 수학의 진짜 기초
3 × 4 = 4 + 4 + 4 = 12
모든 수학의 시작은 “같은 수를 여러 번 더하는 것”입니다.
구구단?
미리 외워둔 표.
3×4 = 4+4+4 = 12
→ 모든 수학의 기초!구구단이 왜 필요한가요??
3×4를 계산할 때 4+4+4=12 대신
“삼사십이” 바로 외울 수 있어요.?
4×(2+3) = 4×2 + 4×3 = 8+12 = 20
괄호 밖 수를 안쪽 각각에 곱해요!왜 이게 성립하나요??
= (4개씩 2묶음) + (4개씩 3묶음)
= 8 + 12 = 20 ✓?
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lim(h→0)은 “h가 0에 점점 가까워질 때”극한이 왜 필요한가요??
“0에 가까워지지만 0은 아닌” 상태를 씁니다.분모가 0이면 왜 안 되나요??
“6개를 0명이 나눠가져” = 말이 안 돼요.
그래서 h를 0에 가까이지만 0은 아닌 값으로 씁니다.
한 번도 끊기지 않고 연결됩니다!
🔁 전체 흐름 요약표
💡 결론: 공식은 외우는 게 아니라 이해하는 것
수능 미분 공식은 하늘에서 떨어진 게 아닙니다.
1+1=2 → 덧셈 → 구구단 → 분배법칙 → 극한 → 미분
이어지는 논리의 탑입니다.
“왜?”라고 한 번만 더 물어보세요.
수학은 암기 과목이 아닙니다. 논리를 따라가는 여행입니다.