이 문제는 계단을 차곡차곡 올라갈 때 10번째 계단에 올라섰을 때 그 높이가 얼마가 되는지 알아맞히는 마법 같은 수수께끼예요. 첫 번째 계단에서 시작해서 규칙적으로 3칸씩 쑥쑥 올라갈 때 10번째 칸의 숫자를 찾아내는 탐험을 떠나볼까요?
📌 오늘의 수능 문제
점화식
aₙ₊₁
다음 번째
수열
숫자들을 규칙에 따라 줄 세운 것입니다. 사탕을 하루에 3개씩 늘려 받는 것과 같아요!
의 값으로, 바로 다음 번째에 나타나는 마법의 숫자입니다.
=
aₙ
현재 번째의
항
수열 속 각각의 숫자 알맹이 하나를 뜻합니다. 기차의 칸칸마다 적힌 번호판 같아요.
으로, 지금 우리가 서 있는 자리의 숫자입니다.
+ 3, a₁ = 1 일 때, a₁₀을 구하시오.
◄ 역추적 1단계: 정답 확인
여행 목적지 표지판 비유
우리가 최종적으로 도착해야 할 여행지가 바로 a₁₀ 이라는 10번째 표지판이에요. 여행의 출발점인
첫째항
수열의 가장 첫 번째 시작 숫자인 a₁을 말해요. 모든 모험의 출발점입니다!
부터 매번 3씩 더해간다는 규칙을 적용하면 최종 목적지인 28에 정확히 도착하게 됩니다.
수학 개념 설명에서 우리는
목표값
문제에서 찾아내라고 요구하는 최종 결과물이에요. 보물찾기의 마지막 보물 상자죠.
인 a₁₀이 무슨 의미인지 파악해야 해요. 1번째부터 10번째까지 총 9번의 간격(점프)을 뛰어넘어야 한다는 뜻이랍니다.
구체적인 예시로 a₂는 1 + 3 = 4 이고, a₃은 4 + 3 = 7 이 되는 것처럼 차근차근 숫자를 대입해서 눈으로 직접 확인할 수 있어요.
1단계 점프 계산 시각화
출발 (a₁)
1 + 3 × 9 칸 이동
도착 (a₁₀) = 28
핵심 포인트: 최종 답 28은 첫째항 1에서 공차 3을 총 9번 더해서 도달한 값입니다.
◄ 역추적 2단계: 수열 정의
자동차 속도계 비유
자동차가 고속도로를 달릴 때 속도계 눈금이 일정한 규칙으로 올라가는 것처럼,
등차수열
일정한 숫자(공차)를 계속 더해 나가는 수의 나열 규칙이에요. 계단을 일정한 높이로 오르는 것과 같아요.
은 일정한 간격으로 수가 커지는 마법의 속도계와 같아요.
수학 개념에서 이웃하는 두 항의 차이가 일정하다는 것은
극한
어떤 값에 한없이 가까워지는 상태를 뜻해요. 무한히 멀리 나아갈 때 어디로 향하는지 관찰하는 눈이죠!
이나 미분에서 말하는
변화율
시간이나 위치가 바뀔 때 양이 얼마나 변하는지 비율로 나타낸 것이에요. 오르막길의 가파른 정도랍니다.
처럼 일정한 보폭을 의미합니다.
구체적인 예시로 aₙ₊₁ – aₙ = 3 이라는 식은 바로
공차
등차수열에서 더해지는 일정한 고정 숫자에요. 사탕 공장에서 매번 찍어내는 추가 사탕 개수죠.
d = 3 임을 의미하며, 이를 통해 수열의 전체 뼈대를 완성할 수 있습니다.
2단계 수열 구조 비교표
구분
자동차 비유
수학적 의미
일정한 보폭
엑셀을 밟는 일정한 힘
공차 d = 3
핵심 포인트: 점화식 aₙ₊₁ = aₙ + 3 은 매 단계마다 3씩 커지는 규칙을 선언한 것입니다.
◄ 역추적 3단계: 계산 전개
레고 조립 / 사탕 나눠주기 비유
레고 블록을 한 개씩 쌓아 올리거나 친구들에게 사탕을 똑같이 나누어 주듯, 첫째항에 3을 차곡차곡 더해나가는 조립 과정을 거쳐요.
수학 개념에서 분배법칙이나
일반항
수열의 n번째 숫자를 바로 구할 수 있는 만능 마법 공식이에요! n에 10을 넣으면 바로 10번째 값이 튀어나와요.
공식을 활용하면 굳이 10번을 다 더하지 않고도 한 번에 계산할 수 있답니다.
구체적인 예시로 aₙ = a₁ + (n-1)×d 공식에 a₁ = 1, d = 3, n = 10 을 대입하면 a₁₀ = 1 + (10-1)×3 이 되어 깔끔하게 풀려요.
3단계 공식 대입 계산 표
단계별 대입
1 + 9 × 3 전개 과정
계산 결과
곱셈 우선 계산
1 + 27
28
핵심 포인트: 일반항 공식 aₙ = a₁ + (n-1)d를 이용하면 복잡한 덧셈을 한 번에 해결할 수 있습니다.
◄ 역추적 4단계: 핵심 개념
산꼭대기 경사도 / 격자무늬 종이 넓이 비유
산에 오를 때 일정한 경사로 꼬막눈을 뜨고 올라가는 것처럼, 수열의 진행 방향은 곧 좌표평면 위에서의 직선
기울기
오르막길이 얼마나 가파른지 보여주는 수치예요. x가 1칸 갈 때 y가 얼마나 올라가는지 뜻하죠.
와 완벽하게 일치해요.
수학 개념에서 등차수열은 일차함수 y = 3x – 2 와 점들의 모임으로 해석할 수 있으며, 이 구조를 이해하면
함숫값
마법 상자(함수)에 숫자를 넣었을 때 밖으로 튀어나오는 결과물이에요.
를 직관적으로 이해할 수 있답니다.
구체적인 예시로 x 자리에 10을 대입하면 3×10 – 2 = 28 이 되어 수열의 결과와 정확히 일치함을 눈으로 보게 됩니다.
4단계 일차함수 연결 비교표
수열 용어
함수 대응
값 확인
공차 d = 3
기울기 3
일치
핵심 포인트: 등차수열은 곧 기울기가 일정한 일차함수의 점들과 정확히 대응됩니다.
◄ 역추적 5단계: 중학교 개념
중학교 좌표평면 그래프 비유
모눈종이 위에 점을 콕콕 찍어 그래프를 그리던 중학교 시절을 떠올려보세요. x가 1칸 갈 때 y가 3칸씩 쭉쭉 올라가는 계단식 그림을 그릴 수 있어요.
수학 개념에서
좌표평면
가로줄(x축)과 세로줄(y축)이 교차하는 바둑판 모양의 도화지예요. 위치를 숫자로 딱 찍어 나타내죠.
위에 점 (1, 1), (2, 4), (3, 7)을 차례대로 찍어보면 완벽한 직선이 만들어진답니다.
구체적인 예시로 x = 10 일 때 y 좌표가 얼마인지 계산하면 1 + 3×(10 – 1) = 28 이 되어 그래프의 끝점을 정확히 찾아낼 수 있어요.
5단계 좌표 점들 확인 표
x 좌표 (항 번호)
y 좌표 계산 (값)
좌표점
10
1 + 3×9
(10, 28)
핵심 포인트: 중학교에서 배운 좌표와 일차함수의 규칙이 고등학교 수열의 뼈대가 됩니다.
◄ 역추적 6단계: 초등학교 개념
주사위 세기 / 구구단 비유
초등학교 때 사탕을 3개씩 묶어서 세어보던 기억이 나나요? 3씩 뛰어 세기를 하면 3, 6, 9, 12… 하고 구구단처럼 쉽게 셀 수 있어요.
수학 개념에서 곱셈은 덧셈을 빠르게 줄여서 계산하는 초간편 마법 도구랍니다. 3을 9번 더하는 것을 9×3으로 한 번에 표현하는 것과 같아요.
구체적인 예시로 시작점인 1에다가 3씩 9번 묶음으로 커진 양인 27을 더해주면 1 + 27 = 28 이라는 초간단 덧셈으로 변신해요.
